У евклідовій геометрії афінна інволюція — це інволюція, яка є лінійним або афінним перетворенням над евклідовим простором . Такі інволюції легко охарактеризувати, і їх можна описати геометрично.

Лінійні інволюції Задати лінійну інволюцію є те самим, що задати інволютивну матрицю, квадратну матрицю таку, що де – одинична матриця.

Це швидка перевірка того, що квадратна матриця , елементи якої дорівнюють нулю поза головною діагоналлю та ±1 на діагоналі, тобто сигнатурна матриця вигляду

задовольняє (1), тобто є матрицею лінійної інволюції. Виявляється, що всі матриці, які задовольняють (1), мають вигляд де є оборотною, а така ж, як зазначено вище. Тобто, матриця будь-якої лінійної інволюції має вигляд з точністю до матричної подібності . Геометрично це означає, що будь-яку лінійну інволюцію можна отримати, здійснивши похилі відбиття відносно будь-якого числа від 0 до гіперплощин, що проходять через початок координат.

Примітка: Термін похиле відбиття, як він тут використовується, включає звичайні відбиття.

Легко перевірити, що представляє лінійну інволюцію тоді і тільки тоді, коли має вигляд для лінійної проекції .

Афінні інволюції Якщо A є лінійною інволюцією, то відображення x → A ( x − b )+ b задає афінну інволюцію. Можна показати, що будь-яка афінна інволюція має саме такий вигляд. Геометрично це означає, що кожну афінну інволюцію можна отримати як композицію похилих відбиттів відносно деякого набору гіперплощин, кількість яких варіює від 0 до n, і які проходять через точку b.

Афінні інволюції можна класифікувати за розмірністю афінного простору нерухомих точок; це відповідає кількості значень 1 на діагоналі подібної матриці D, тобто розмірності власного простору для власного значення 1.

Афінні інволюції в є:

ідентичність відображення відносно точки похиле відбиття відносно прямої похиле відбиття відносно площини

Ізометричні інволюції У випадку, якщо власний простір для власного значення 1 є ортогональним доповненням до власного простору для власного значення −1, тобто кожен власний вектор з власним значенням 1 є ортогональним до кожного власного вектора з власним значенням −1, така афінна інволюція є ізометрією. Два крайні випадки, для яких це завжди застосовується це одинична функція та інверсія в точці .

Інші інволютивні ізометрії — це інверсія по прямій (у 2D, 3D та вгору; у 2D це відображення, а в 3D -— обертання навколо прямої на 180°); інверсія по площині (у 3D та вгору; у 3D це відображення по площині); інверсія у 3D просторі (у 3D: тотожність) тощо.

Посилання