Неперервне вейвлет-перетворення (НВП; ) — інтегральне перетворення, що подає сигнал або функцію через її скалярні добутки із сімейством масштабованих і зсунутих копій вейвлета. На відміну від дискретного вейвлет-перетворення, параметри масштабу та зсуву в НВП змінюються неперервно, тому таке перетворення утворює надлишкове подання сигналу.
Для функції неперервне вейвлет-перетворення за материнським вейвлетом можна визначити як
де — параметр масштабу, а — параметр зсуву. Коефіцієнт вейвлетного розкладу визначає наскільки форма сигналу відповідає вейвлету з масштабом , локалізованим поблизу положення .
Неперервне вейвлет-перетворення утворює подання сигналу в просторі «положення — масштаб», що дає змогу використовувати НВП для часово-частотного аналізу нестаціонарних сигналів.
Умова допустимості та оберненість перетворення Для відновлення початкової функції вейвлет має задовольняти умову допустимості. Якщо
— перетворення Фур'є материнського вейвлета, то його стала допустимості визначається як
Вейвлет називають допустимим, якщо
Умова допустимості забезпечує можливість відновити функцію з її вейвлет-коефіцієнтів.
Підінтегральний вираз має особливість поблизу нульової частоти. За звичайних умов інтегровності вейвлета скінченність вимагає
а отже,
Таким чином, допустимий вейвлет не містить сталої складової: його середнє значення дорівнює нулю. Це також можна розглядати як занулення моменту нульового порядку. Вейвлет реагує на локальні зміни сигналу, тоді як стала складова сама по собі не утворює ненульових вейвлет-коефіцієнтів.
Для дійсного материнського вейвлета можна ввести односторонню сталу допустимості
Тоді для початкову функцію можна відновити за її неперервним вейвлет-перетворенням:
Властивості За визначенням, неперервне вейвлет перетворення є згорткою вхідних даних із набором функцій породжених материнським вейвлетом. Згортка може бути обрахована використовуючи алгоритм швидкого перетворення Фур'є. Вихідний сигнал перетворення є дійсною функцією, якщо материнський вейвлет є дійсною функцією. Спектр потужності неперервного вейвлет перетворення може бути записано як .
Застосування
Порівняння з іншими перетвореннями
Див. також Вейвлет Вейвлет-перетворення Віконне перетворення Фур'є Частотно-часовий аналіз Частотно-часове представлення Вейвлет Рікера Зникальні моменти
Джерела
Примітки