Вейвлети — це родина математичних функцій, яка допомагає аналізувати частотні компоненти сигналів (функцій залежних від часу), методами схожими на перетворення Фур'є — Вейвлет-перетворення. Вейвлети надають ортогональний базис, який також має частотну характеристику, але на відміну від нескінчених коливань осциляторних функцій для перетворення Фур'є, коливання вейвлетів локалізовані в просторі. Це означає що амплітуда (енергія) сконцентрована на скінченому інтервалі, та швидко затухає за межами визначеної інтервалу, або області у випадку багатовимірних функції.
Етимологія Слово вейвлет походить від французького ondelette — маленька хвиля, яке перекладено англійською як wavelet (англ. wave — хвиля, та зменшувального суфіксу -let). Термін впроваджений французьким геофізиком Жаном Морле (Jean Morlet) та разом з Алексом Гросманом (Alex Grossmann), та використовується з 50-х років в геофізиці. Таким чином можна перекласти як хвилька, тобто маленька хвиля. І хоча деякі мови перекладають це слово, як наприклад іспанське Ondícula або польське Falki, в інших мовах використовують транслітерацію слова вейвлет.
Застосування вейвлет-перетворень
Частотна локалізація функції зводиться до понять гладкості та кількості зникаючих моментів. Вейвлет-перетворення звичайно поділяють на дискретне вейвлет-перетворення (DWT) та неперервне вейвлет-перетворення (CWT).
Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) звичайно використовується для кодування сигналів, у той час як CWT для аналізу сигналів. Саме тому, DWT широко застосовується в інженерній справі і комп'ютерних науках, а CWT у наукових дослідженнях фізичних процесів. Вейвлет-перетворення в наш час взяті на озброєння для величезної кількості різнопланових застосувань, нерідко заміняючи звичайне перетворення Фур'є у багатьох прикладних задачах. Ця зміна парадигми спостерігається в багатьох галузях фізики, включаючи молекулярну динаміку, астрофізику, квантовій механіці, геофізиці, оптиці, механіці рідини та в багатьох інших галузях, включаючи обробку зображень, аналізу кров'яного тиску, пульсу та ЕКГ, аналіз ДНК, дослідження білків, вивчення клімату, загальну обробку сигналів, розпізнавання мови, комп'ютерну графіку і мультифрактальний аналіз. Таке широке використання вейвлет-перетворень забезпечується можливістю побудувати на їх основі методи, що потребуватимуть O(N) операцій, на противагу методів Фур'є-перетворень, де кількість операцій не менша за O(NlogN).
Історія До розроблення вейвлетів призвели декілька незалежних шляхів міркувань, що почалися з робіт , який на початку двадцятого століття поставив запитання:
Як виявилося таких систем можна побудувати нескінченну кількість.
У 1909 році Хаар запропонував найпростіший розв'язок і тим самим поклав початок до теорії вейвлетів. З 1955 Важливий внесок в теорію принесли такі вчені як Морле, Гроссман які сформулювали те що зараз відоме як неперервне вейвлет-перетворення (CWT). 1983 Жан Олаф-Штромберґ (Stromberg) та Мейєру (Yves Meyer) визначили та працювали над дискретними вейвлетами. 1988 Інгрід Добеші розробила родину функцій на компактному носії. 1985-89 Стефан Маллат (Stephane Georges Mallat), спеціаліст з обробки зображень, узагальнив вже існуючі теоретичні розробки: а) квадратурний дзеркальний фільтр (quadrature mirror filter) для цифрової телефонії; б) пірамідальний алгоритм Бурта-Аделсона (Burt Adelson), який використовувався для обробки зображень та в) ортонормальний вейвлет базис Штромберґа та Меєра. Маллат розробив багаторозкладний аналіз (multiresolution analysis). 1991 Наталі Делпрат (Nathalie Delprat) надала часово-частотну інтерпретацію CWT (1991) 1991 Девід Ньюланд розробив гармонійне вейвлет-перетворення та багато інших.
Приклади, види базисів Найпростіша родина вейвлетів, що демонструє основні властивості, такі як ділляція (масштабування), трансляція(зсув), та затухання за межами інтервалу (взагалі компактність носія за визначенням) є система функцій Хаара.
Система будується починаючи з базисної функції на [0,1/2) та −1 на [1/2,1), і 0 всюди крім [0, 1). Для запишемо , і визначимо . Носієм буде інтервал , що входить до [0, 1), коли . Для завершення довизначимо на [0, 1). Тепер побудований ряд це ортонормальний базис (іноді кажуть Гільбертів базис) в . Апроксимація функції послідовністю — це класична апроксимація неперервної функції.
Можна виділити дві основні операції над вихідною функцією: трансляція (зсув) — диляція (стискання, масштабування) . На шляху до сучасних побудов теорії хвильок варто відзначити роботи радянського математика Лузіна (30-ті роки), які були продовжені Гвідо Вейссом (Guido Weiss) та Роналдом Куафманом (Ronald R. Coifman) у 60-ті — 80-ті. Їхній підхід використовувався для обробки сиґналів, і оснований на атомарних функціях. Сьогодні цей напрям розвивають учні В. Л. Рвачева (Харків).
Вчені визначили вейвлет як набір функцій, породжених однією «материнською» функцією . . Для функції ці хвилькі відіграють роль ортонормованого базису, хвилькові коефіцієнти визначаються як . Гроссманн та Морле дали наступне визначення: вейвлет це функція , перетворення Фур'є якої задовольняє умові майже всюди. За ними вейвлет — це функція , така, що утворює ортонормальний базис у .
Найголовніший крок належить Інгрід Добеші (Ingrid Daubechies). У 1988 році вийшла її стаття, де вперше розглядається сімейство ортонормованих систем в з важливими особливостями: кожна система породжується масштабною функцією за допомогою трансляції та диляції; кожен елемент даної системи має компактний носій і неперервний, або може бути вибраний досить гладкий (до певного порядку) шляхом зміни масштабу. Носії базисних функцій стають тим менші чим більший індекс j; існують швидкі алгоритми для обчислень коефіцієнтів розкладу певної функції. Називається — дискретне вейвлет-перетворення від функції до вейвлет коефіцієнтів розкладу. Цей алгоритм має складність порядку O(N); Класичне дискретне перетворення Фур'є та косинус перетворення з'являються як частинний випадок дискретного вейвлет-перетворення (DWT) дискретне вейвлет-перетворення може бути розпаралелене.
Хвильки Добеші Масштабна функція і відповідна хвилькова функція задовольняють масштабному рівнянню (scaling equation) ; відповідному хвильковому рівнянню (wavelet equation) , де коефіцієнти масштабного рівняння повинні задовольняти лінійній та квадратичній умовам , і де . Функції та задані на інтервалі [0, 2g-1] і утворюють трансляцією та диляцією вейвлет систему. Однією з властивостей технології хвильок (вейвлет) є можливість вибрати систему коефіцієнтів, найбільш адаптовану до даної проблеми. Добеші у своїй роботі визначила сімейство хвилькових (вейвлет) систем, які мають максимальну кількість зникаючих моментів . Так коли можна явно знайти коефіцієнти : . Задавати вейвлет систему можна різним чином. Поширення набуло таке задання , . (Зазвичай система об'єднана з масштабними коефіцієнтами.) Вейвлет розвинення: , де , .
Приклади базисів вейвлет Хаара вейвлет Добеші вейвлет Гаусса вейвлет Меєра (Meyer wavelet) вейвлет Морле (Morlet wavelet) вейвлет Матьє вейвлет Пауля Вейвлет Рікера (Ricker wavelet, «мексиканський капелюх») вейвлет Койфмана (Ronald Coifman) — койфлет вейвлет Шеннона
Зв'язки теорії вейвлетів Теорія вейвлетів зв'язана з декількома іншими напрямами. Усі вейвлет-перетворення можуть розглядатися як різновид часово-частотного представлення і, отже відноситься до предмета гармонійного аналізу. Дискретне вейвлет-перетворення може розглядатися як різновид фільтра скінченної імпульсної відповіді. Вейвлети, що утворюють CWT підкоряються принципу невизначеності Гейзенберга і відповідно базис дискретного вейвлета також може розглядатися в контексті інших форм принципу невизначеності.
скейлінг-функції і вейвлет амплітуда частотного спектра
Див. також Простір масштабів
Література
Примітки
Посилання Wavelet Digest The Wavelet Tutorial by Polikar Роби Поликар Введение в Вейвлет-преообразование — 59 с. — Для тих, хто добре зрозумів ДПФ J. Lewalle — Введение в анализ данных с применением непрерывного вейвлет-преобразования — 29 с. — Для тих, хто добре зрозумів роботу Робі Поликара «Введение в Вейвлет-преообразование»