Зникальні моменти (також зникаючі моменти, нульові моменти; ) — властивість вейвлета або іншої функції, що полягає в рівності нулю певної кількості її перших моментів. Функція має зникальних моментів, якщо
Ця умова означає, що ортогональна до всіх многочленів степеня, меншого за . Тому вейвлет із зникальними моментами не реагує на поліноміальні складові сигналу степеня до , а його коефіцієнти в гладеньких областях сигналу зазвичай є малими. Ця властивість визначає здатність вейвлетів відокремлювати локальні особливості від гладенького фону та має важливе значення для апроксимації, стиснення сигналів і виявлення сингулярностей.
У частотній області наявність зникальних моментів еквівалентна нулю -го порядку перетворення Фур'є вейвлета в точці нульової частоти:
Наприклад, вейвлет Хаара має один зникальний момент, а вейвлет Рікера, який є другою похідною гаусової функції, — два.
Інтерпретація
Ортогональність до многочленів
Якщо функція має зникальних моментів, то вона ортогональна до будь-якого многочлена степеня, меншого за . Справді, для
маємо
Таким чином, вейвлет з одним зникальним моментом не реагує на сталу складову сигналу, з двома — також на лінійну, з трьома — на квадратичну тощо. Це дає змогу відокремлювати локальні зміни сигналу від повільно змінюваного поліноміального фону.
Гладкі функції та локальні особливості
Реальні сигнали зазвичай не є многочленами, проте гладку функцію в малому околі точки можна наблизити її многочленом Тейлора. Якщо степінь такого наближення менший за кількість зникальних моментів вейвлета, його поліноміальна частина не дає внеску у вейвлет-коефіцієнт.
Для функції , локально поданої у вигляді
де — многочлен степеня, меншого за , вейвлет-перетворення задовольняє
оскільки внесок дорівнює нулю. Тому в областях, де сигнал добре описується многочленом низького степеня, вейвлет-коефіцієнти є малими.
Поблизу сингулярностей, розривів, різких змін похідних та інших локальних особливостей поліноміальне наближення погіршується, і коефіцієнти залишаються значними навіть на малих масштабах. На цьому ґрунтується використання вейвлетів для виявлення меж, розривів і локальних особливостей сигналів, а також для їх розрідженого представлення та стиснення.
Приклади
Вейвлет Хаара
Вейвлет Хаара є найпростішим прикладом вейвлета з одним зникальним моментом. Для материнського вейвлета
нульовий момент дорівнює
тоді як перший момент
Отже, вейвлет Хаара ортогональний до сталих функцій, але не до лінійних, і має рівно один зникальний момент.
Ермітові вейвлети
Прикладом сімейства, для якого кількість зникальних моментів безпосередньо визначається порядком функції, є ермітові вейвлети (), що утворюються нормованими похідними гаусової функції.
Нехай
а вейвлет порядку визначено як
де — нормувальний множник. Цю похідну можна записати через многочлен Ерміта:
Для моменту порядку маємо
Після -кратного інтегрування частинами граничні члени зникають завдяки швидкому спаданню гаусової функції, тому
оскільки -та похідна многочлена за умови дорівнює нулю. Для
тому відповідний момент уже не дорівнює нулю. Отже, -й ермітів вейвлет має рівно зникальних моментів.
Таким чином, зі збільшенням порядку похідної вейвлет послідовно стає ортогональним до многочленів дедалі вищого степеня: перша похідна гаусової функції усуває сталу складову, друга — сталу та лінійну, -та — будь-який многочлен степеня, меншого за .
Вейвлети Добеші
У сімействі вейвлетів Добеші кількість зникальних моментів є одним із параметрів конструкції. Ортогональний вейвлет Добеші з компактною пыдтримкою з коефіцієнтами фільтра має зникальних моментів. Тому D2, який збігається з вейвлетом Хаара, має один зникальний момент, D4 — два, D6 — три тощо.
Збільшення кількості зникальних моментів у цьому сімействі потребує довшого фільтра і ширшого компактного носія. Таким чином, вейвлети Добеші демонструють типовий компроміс між здатністю усувати поліноміальні складові високого степеня та локалізацією вейвлета.
Див. також Вейвлет Вейвлет-перетворення Вейвлети Добеші Гаарів вейвлет Вейвлет Рікера Вейвлети Коена–Добеші–Фово
Примітки
Література Федоров Є. Є., Нечипоренко О. В., Уткіна Т. Ю., Корпань Я. В. Моделі та методи комп'ютерних систем розпізнавання зорових образів. — Черкаси: ЧДТУ, 2021. — 482 с. — С. 61. — ISBN 978-966-949-787-1. Ланде Д. В., Субач І. Ю., Бояринова Ю. Є. Основи теорії і практики інтелектуального аналізу даних у сфері кібербезпеки. — Київ: ІСЗЗІ КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2018. — 300 с. — С. 184—185. — ISBN 978-966-2577-12-9. Дубровін В. І., Твердохліб Ю. В., Рашавченко А. В. Огляд методів вейвлет-перетворення для аналізу фоно- та електрокардіограм // Бионика интеллекта. — 2013. — № 2 (81). — С. 87—92. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / пер. с англ. Е. В. Мищенко; под ред. А. П. Петухова. — М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 463 с. — ISBN 5-93972-044-7. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / пер. с англ. Я. М. Жилейкина. — Москва: Мир, 2005. — 671 с. — ISBN 5-03-003691-1.