У геометрії символ Вітгоффа — позначення, що представляє побудову Вітгоффа однорідного многогранника або замощення площини всередині трикутника Шварца. Вперше його використали Коксетер, Лонге-Гіґґінс та Міллер під час перерахування однорідних многогранників. Пізніше для позначення однорідних політопів та стільників у n-вимірному просторі в межах фундаментального симплекса розроблено діаграми Коксетера.

Символ Вітгоффа складається з трьох чисел та вертикальної риски. Він представляє один однорідний многогранник або замощення, хоча те саме замощення або многогранник може мати різні символи Вітгоффа, залежно від різних генераторів симетрії. Наприклад, куб можна подати як 3 | 2 4 зі , та 2 4 | 2 як квадратну призму з 2 кольорами та симетрією D4h, а також як 2 2 2 | з 3 кольорами та симетрією D2h.

З невеликим розширенням символ Вітгоффа можна застосувати до всіх однорідних многогранників. Однак методи побудови не призводять до всіх однорідних замощень в евклідовому або гіперболічному просторі.

Опис Побудова Вітгоффа починається з вибору на фундаментальному трикутнику породжувальної точки. Цю точку потрібно вибрати на рівній відстані від усіх сторін, на яких вона не лежить, і потім з неї провести перпендикуляр до кожної зі сторін.

Три числа в символі Вітгоффа, p, q та r, представляють кути трикутника Шварца, використаного в побудові, величини яких , та радіан відповідно. Трикутник також зображують тими ж числами, записаними як (p q r). Вертикальна риска в символі визначає категоричне положення породжувальної точки в межах фундаментального трикутника:

означає, що породжувальна точка лежить у вершині p, означає, що породжувальна точка лежить на ребрі між p та q, означає, що породжувальна точка лежить усередині трикутника.

У цьому записі дзеркала позначають порядком відбиття протилежної вершини. Значення p, q, r вказано перед смужкою, якщо відповідне дзеркало активне.

Особливе використання має символ , який означає, що активні всі дзеркала, але непарні відображення нехтуються. Отримана фігура має лише обертову симетрію.

Породжувальна точка може бути ввімкнена або вимкнена для кожного дзеркала, активована чи ні. Ця відмінність створює 8 (23) можливих форм, але та, де породжувальна точка лежить на всіх дзеркалах, неможлива. Символ, який зазвичай позначав би це, повторно використовують для косих замощень ().

Символ Вітгоффа функціонально подібний до більш загальної діаграми Коксетера — Динкіна, на якій кожен вузол представляє дзеркало, а дуги між ними, позначені числами, — кути між дзеркалами. (Дугу, що зображує прямий кут, пропускають.) Вузол обводять, якщо породжувальна точка не лежить на дзеркалі.

Приклади сферичних, евклідових та гіперболічних замощень на прямокутних трикутниках Фундаментальні трикутники намальовано почерговими кольорами, як дзеркальні відбиття. Послідовність трикутників (p 3 2) змінюється від сферичної (p = 3, 4, 5) до евклідової (p = 6) та гіперболічної (p ≥ 7). Гіперболічні мозаїки зображено як проєкції диска Пуанкаре. Символ Вітгоффаq p 22 q p2 p q2 p qp q 2p q 2p q 2 p q 2Діаграми КоксетераВершинна фігураpqq.2p.2pp.q.p.qp.2q.2qqpp.4.q.44.2p.2q3.3.p.3.qФунд. трикутники7 форм і скошені(3 3 2)3 3 2332 3 33.6.62 3 33.3.3.32 3 33.6.63 3 2333 3 23.4.3.43 3 2 4.6.6 3 3 23.3.3.3.3(4 3 2)3 4 2432 3 43.8.82 4 33.4.3.42 4 34.6.64 3 2344 3 23.4.4.44 3 2 4.6.8 4 3 23.3.3.3.4(5 3 2)3 5 2532 3 53.10.102 5 33.5.3.52 5 35.6.65 3 2355 3 23.4.5.45 3 2 4.6.10 5 3 23.3.3.3.5(6 3 2)3 6 2632 3 63.12.122 6 33.6.3.62 6 36.6.66 3 2366 3 23.4.6.46 3 2 4.6.12 6 3 2(7 3 2)3 7 2732 3 73.14.142 7 33.7.3.72 7 37.6.67 3 2377 3 23.4.7.47 3 2 4.6.14 7 3 2(8 3 2)3 8 2832 3 83.16.162 8 33.8.3.82 8 38.6.68 3 2388 3 23.4.8.48 3 2 4.6.16 8 3 23.3.3.3.8(∞ 3 2)3 ∞ 2∞32 3 ∞3.∞.∞2 ∞ 33.∞.3.∞2 ∞ 3∞.6.6∞ 3 23∞∞ 3 23.4.∞.4∞ 3 2 4.6.∞ ∞ 3 23.3.3.3.∞

Див. також Правильні багатовимірні многогранники

Джерела Coxeter Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction) Coxeter The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes) Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, Uniform polyhedra, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401–50. pp. 9–10.

Посилання

The Wythoff symbol Greg Egan's applet to display uniform polyhedra using Wythoff's construction method A Shadertoy renderization of Wythoff's construction method KaleidoTile 3 — безкоштовний освітній застосунок для Windows від , яким створено багато зображень на цій сторінці.