Однорі́дний многогранник — вершинно транзитивний многогранник (транзитивний відносно вершин, а також ізогональний, тобто є рух, що переводить вершину в будь-яку іншу), грані якого є правильними многокутниками. Звідси випливає, що всі вершини конгруентні і многогранник має високий рівень дзеркальної й обертової симетрії.
Однорідні многогранники можна поділити на опуклі форми з гранями у вигляді правильних опуклих многокутників і зірчасті форми. Зірчасті форми мають грані у вигляді правильних зірчастих многокутників, вершинних фігур або обох видів разом.
Список включає:
всі 75 непризматичних однорідних многогранників; деяких представників нескінченної множини призм та антипризм; один окремий випадок, многогранник Скілінга з ребрами, що перетинаються.
1970 року радянський учений Сопов довів, що існує лише 75 однорідних многогранників, які не входять до нескінченних серій призм і антипризм. Джон Скілінг (John Skilling) відкрив ще один многогранник, послабивши умову, що ребро може належати лише двом граням. Деякі автори не вважають цей многогранник однорідним, оскільки деякі пари ребер збігаються.
Не включено:
40 потенційних вершинними фігурами, які мають ребра, що перетинаються (не перераховані Коксетером); Однорідні мозаїки (нескінченні многогранники) 11 евклідових 14 евклідових Нескінченна кількість однорідних мозаїк на гіперболічній площині .
Нумерація Використовують чотири схеми нумерації однорідних многогранників, що відрізняються літерами:
[C] Коксетер зі співавторами (1954). Список містить опуклі види з номерами від 15 до 32, три призматичні види (номери 33—35) та неопуклі види (номери 36—92). [W] Веннінджер (1974). Список містить 119 фігур: номери 1—5 для платонових тіл, 6—18 для архімедових тіл, 19—66 для зірчастих видів, включно з 4 правильними неопуклими многогранниками, та 67—119 для неопуклих однорідних многогранників. [K] Kaleido (програмаKaleidoscopic Construction of Uniform Polyhedra, Dr. Zvi Har'El, 1993). Список містить 80 фігур, номери згруповано за симетрією: 1—5 представляють нескінченні серії призматичних форм з , 6—9 з тетраедричною симетрією, 10—26 з , 46—80 з ікосаедричною симетрією. [U] Mathematica (програма, 1993). У програмі, загалом, використано таку ж нумерацію, як у програмі Kaleido, лише перші 5 призматичних види перенесено в кінець списку, отже непризматичні види отримали номери 1—75.
Список многогранників Опуклі форми перераховано в порядку степенів вершинних конфігурацій від 3 граней/вершин і далі, і збільшення сторін грані. Таке впорядкування дозволяє показати топологічну схожість.
Опуклі однорідні багатогранники НазваМалюнокТип вершинної конфігураціїСимволВітгоффаСим.C#W#U#K#Вер-шинРе-берГра-нейЩіль-ністьГраней за типамиТетраедр3.3.3 2 3TdC15W001U01K06464214{3}Трикутна призма3.4.4 2D3hC33a --U76aK01a695212{3}+3{4}Зрізаний тетраедр3.6.6 3TdC16W006U02K0712188214{3}+4{6}Зрізаний куб3.8.8 4OhC21W008U09K14243614218{3}+6{8}Зрізаний додекаедр3.10.10 5IhC29W010U26K316090322120{3}+12{10}Куб4.4.4 2 4OhC18W003U06K118126216{4}Пятикутна призма4.4.5 2D5hC33b --U76bK01b10157215{4}+2{5}Шестикутна призма4.4.6 2D6hC33c --U76cK01c12188216{4}+2{6}Восьмикутна призма4.4.8 2D8hC33e --U76eK01e162410218{4}+2{8}Десятикутна призма4.4.10 2D10hC33g --U76gK01g2030122110{4}+2{10}4.4.12 2D12hC33i --U76iK01i2436142112{4}+2{12}Зрізаний октаедр4.6.6 3OhC20W007U08K13243614216{4}+8{6}Зрізаний кубооктаедр4.6.8OhC23W015U11K164872262112{4}+8{6}+6{8}Ромбозрізаний ікосододекаедр4.6.10IhC31W016U28K33120180622130{4}+20{6}+12{10}Додекаедр5.5.5 2 5IhC26W005U23K282030122112{5}Зрізаний ікосаедр5.6.6 3IhC27W009U25K306090322112{5}+20{6}Октаедр3.3.3.3 2 3OhC17W002U05K106128218{3}Квадратна антипризма3.3.3.4 2 2 4D4dC34a --U77aK02a81610218{3}+2{4}П'ятикутна антипризма3.3.3.5 2 2 5D5dC34b --U77bK02b1020122110{3}+2{5}Шестикутна антипризма3.3.3.6 2 2 6D6dC34c --U77cK02c1224142112{3}+2{6}Восьмикутна антипризма3.3.3.8 2 2 8D8dC34e --U77eK02e1632182116{3}+2{8}3.3.3.10 2 2 10D10dC34g --U77gK02g2040222120{3}+2{10}Дванадцятикутна антипризма3.3.3.12 2 2 12D12dC34i --U77iK02i2448262124{3}+2{12}Кубооктаедр3.4.3.4 3 4OhC19W011U07K12122414218{3}+6{4}Ромбокубооктаедр3.4.4.4 2OhC22W013U10K15244826218{3}+(6+12){4}Ромбоікосододекаедр3.4.5.4 2IhC30W014U27K3260120622120{3}+30{4}+12{5}Ікосододекаедр3.5.3.5 3 5IhC28W012U24K293060322120{3}+12{5}Ікосаедр3.3.3.3.3 2 3IhC25W004U22K271230202120{3}Кирпатий куб3.3.3.3.4 2 3 4OC24W017U12K1724603821(8+24){3}+6{4}Кирпатий додекаедр3.3.3.3.5 2 3 5IC32W018U29K34601509221(20+60){3}+12{5}
Однорідні зірчасті многогранники
НазваМалюнокСимволВітгоффаТип вершинної конфігураціїСим.C#W#U#K#Вер-шинРе-берГра-нейЩіль-ністьГраней за типом 36.3/2.6.3OhC37W068U03K0812241208{3}+4{6}Тетрагемігексаедр 24.3/2.4.3TdC36W067U04K09612714{3}+3{4} 36.4/3.6.4OhC51W078U15K20122410 -26{4}+4{6}Великийдодекаедр 2 5(5.5.5.5.5)/2IhC44W021U35K40123012 -6312{5}Великийікосаедр 2 3(3.3.3.3.3)/2IhC69W041U53K581230202720{3} 3 5(5.3.5.3.5.3)/2IhC61W087U47K52206032 -8620{3}+12{5}4.8.4/3.8OhC60W086U18K23244818 -612{4}+6{8} 48.3/2.8.4OhC38W069U13K18244820 -428{3}+6{4}+6{8} 24.3/2.4.4OhC59W085U17K22244826258{3}+(6+12){4} 510.5/4.10.5IhC65W091U51K56306018 -1212{5}+6{10} 36.5/4.6.5IhC81W102U65K70306022 -812{5}+10{6} 510.3/2.10.3IhC63W089U49K54306026 -420{3}+6{10}10.6.10/9.6/5IhC64W090U50K556012032 -2820{6}+12{10}10.4.10/9.4/3IhC46W074U39K446012042 -1830{4}+12{10} 510.3/2.10.5IhC42W072U33K386012044 -16220{3}+12{5}+12{10}6.4.6/5.4/3IhC72W096U56K616012050 -1030{4}+20{6} 36.3/2.6.5IhC62W088U48K536012052 -8620{3}+12{5}+20{6}Пентаграмнапризма 25/2.4.4D5hC33b --U78aK03a10157225{4}+2{5/2}Гептаграмнапризма 7/2 27/2.4.4D7hC33d --U78bK03b14219227{4}+2{7/2}Гептаграмнапризма 7/3 27/3.4.4D7hC33d --U78cK03c14219237{4}+2{7/3} 28/3.4.4D8hC33e --U78dK03d162410238{4}+2{8/3} 2 2 5/25/2.3.3.3D5hC34b --U79aK04a1020122210{3}+2{5/2} 2 2 5/35/3.3.3.3D5dC35a --U80aK05a1020122310{3}+2{5/2}Гептаграмнаантипризма 7/2 2 2 7/27/2.3.3.3D7hC34d --U79bK04b1428162314{3}+2{7/2}Гептаграмнаантипризма 7/3 2 2 7/37/3.3.3.3D7dC34d --U79cK04c1428162314{3}+2{7/3}Гептаграмнаперехрещенаантипризма 2 2 7/47/4.3.3.3D7hC35b --U80bK05b1428162414{3}+2{7/3}Октаграмнаантипризма 2 2 8/38/3.3.3.3D8dC34e --U79dK04d1632182316{3}+2{8/3} 2 2 8/58/5.3.3.3D8dC35c --U80cK05c1632182516{3}+2{8/3}Малийзірчастийдодекаедр 2 5/2(5/2)5IhC43W020U34K39123012 -6312{5/2}Великийзірчастийдодекаедр 2 5/2(5/2)3IhC68W022U52K572030122712{5/2} 5/3 5(5/3.5)3IhC53W080U41K46206024 -16412{5}+12{5/2} 5/2 3(5/2.3)3IhC39W070U30K35206032 -8220{3}+12{5/2} 4/38/3.8/3.3OhC66W092U19K24243614278{3}+6{8/3}Великийромбогексаедр4.8/3.4/3.8/5OhC82W103U21K26244818 -612{4}+6{8/3} 4/38/3.3.8/3.4OhC50W077U14K19244820 -448{3}+6{4}+6{8/3} 5/310/3.5/3.10/3.5/2IhC86W107U70K75306018 -1212{5/2}+6{10/3} 36.5/3.6.5/2IhC78W100U62K67306022 -812{5/2}+10{6}Додекододекаедр 5/2 5(5/2.5)2IhC45W073U36K41306024 -6312{5}+12{5/2} 5/310/3.3/2.10/3.3IhC85W106U71K76306026 -420{3}+6{10/3}Великий ікосо-додекаедр 5/2 3(5/2.3)2IhC70W094U54K593060322720{3}+12{5/2}8/3.6.8OhC52W079U16K21487220 -448{6}+6{8}+6{8/3}8/3.4.6/5OhC67W093U20K254872262112{4}+8{6}+6{8/3} 510.10.5/2IhC47W075U37K42609024 -6312{5/2}+12{10} 5/310/3.10/3.5IhC74W097U58K63609024 -6912{5}+12{10/3} 5/310/3.10/3.3IhC83W104U66K7160903221320{3}+12{10/3} 36.6.5/2IhC71W095U55K606090322712{5/2}+20{6}6.10/3.6/5.10/7IhC79W101U63K686012032 -2820{6}+12{10/3}4.10/3.4/3.10/7IhC89W109U73K786012042 -1830{4}+12{10/3} 36.5/3.6.5IhC56W083U44K496012044 -16412{5}+12{5/2}+20{6} 510.5/3.10.3IhC55W082U43K486012044 -16420{3}+12{;5/2}+12{10} 5/310/3.3.10/3.5IhC54W081U42K476012044 -16420{3}+12{5}+12{10/3} 5/310/3.5/2.10/3.3IhC77W099U61K666012044 -161020{3}+12{5/2}+12{10/3} 36.5/2.6.3IhC40W071U31K366012052 -8220{3}+12{5/2}+20{6} 24.5/2.4.5IhC48W076U38K436012054 -6330{4}+12{5}+12{5/2} 24.5/3.4.3IhC84W105U67K72601206221320{3}+30{4}+12{5/2}10/3.6.10IhC57W084U45K5012018044 -16420{6}+12{10}+12{10/3}10/3.4.10/9IhC75W098U59K6412018054 -6330{4}+12{10}+12{10/3}10/3.4.6IhC87W108U68K731201806221330{4}+20{6}+12{10/3} 2 5/2 53.3.5/2.3.5IC49W111U40K456015084 -6360{3}+12{5}+12{5/2} 5/3 2 535/3.3.3.5IC76W114U60K656015084 -6960{3}+12{5}+12{5/2} 2 5/2 334.5/2IC73W116U57K62601509227(20+60){3}+12{5/2} 5/3 2 333.5/3IC88W113U69K746015092213(20+60){3}+12{5/2}Великийвивернутийоберненокирпатийікосододекаедр 3/25/3 2(34.5/2)/2IC90W117U74K796015092237(20+60){3}+12{5/2} 5/35/2 333.5/3.3.5/2IC80W115U64K6960180104 -1610(20+60){3}+(12+12){5/2} 5/3 3 533.5.5/3IC58W112U46K5160180104 -164(20+60){3}+12{5}+12{5/2} 5/2 3 335.5/2IhC41W110U32K3760180112 -82(40+60){3}+12{5/2} 3/23/25/2(35.5/3)/2IhC91W118U72K7760180112 -838(40+60){3}+12{5/2} nowrap="" 3/25/3 3 5/2(4.5/3.4.3. 4.5/2.4.3/2)/2IhC92W119U75K8060240124 -5640{3}+60{4}+24{5/2}
Особливий випадок Назва заБауером (Bower) Малюнок СимволВітгоффа Вершинна конфігурація Групасиметрії C# W# U# K# Вершин Ребер Граней Щіль-ність Граней за типами (3/2) 5/3 (3) 5/2(5/2.4.3.3.3.4.5/3.4.3/2.3/2.3/2.4)/2 Ih - - - - 60 240 (*) 204 24 120{3}+60{4}+24{5/2}
(*): У Великому бікирпатому біромбобідодекаедрі 120 з 240 ребер належать чотирьом граням. Якщо ці 120 ребер рахувати як дві пари ребер, що збігаються, де кожне ребро належить тільки двом граням, то всього буде 360 ребер і характеристика ейлера стане рівною −88. Зважаючи на цю виродженість, ребер многогранник не всі визнають однорідним.
Позначення в стовпцях
U# — однорідні номери: U01—U80 (тетраедр перший, призми з номерами 76+) K# — номери Kaleido software: K01—K80 (Kn = Un-5 для n від 6 до 80) (призми 1-5, тетраедр і далі 6+) W# — моделі Маґнуса Веннінґера: W001—W119 1—18 — 5 опуклих правильних і 13 опуклих напівправильних 20—22, 41 — 4 неопуклі правильні 19—66 — 48 зірчастих форм/з'єднань (неправильні відсутні в цьому списку) 67—109 — 43 неопуклих гостроносих однорідних многогранників 110—119 — 10 неопуклих кирпатих однорідних многогранників — ейлерова характеристика. Однорідні мозаїки на площині відповідають топології тора з ейлеровою характеристикою нуль. Щільність — представляє число обертів многогранника навколо центру. Число відсутнє для неорієнтовних многогранників і для (многогранників, що мають грані, які проходять через центр многогранника), для яких немає чіткого визначення щільності. Зауваження про малюнки вершинних фігур: Світлими відрізками подано «вершинну фігуру» многогранника. Кольорові грані включено до малюнка вершинної фігури, щоб бачити їх зв'язки. Деякі грані, що перетинаються, намальовано візуально хибно, оскільки візуально вони не показують, які частини розташовані попереду.
Див. також Двоїстий однорідний многогранник Призматичний однорідний многогранник Сферичний многогранник
Примітки
Література
Third edition (1999) Tarquin ISBN 978-1-899618-32-3.
Посилання
— Software able to generate and print nets for all uniform polyhedra. Used to create most images on this page.
Сопов С. П. Доказательство полноты перечня элементарных однородных многогранников Архивная копия от 7 ноября 2017 на Wayback Machine // Украинский геометрический сборник, выпуск 8, 1970 год, стр. 139—156. Нумерація однорідних: U1—U80, (тетраедр перший)
Нумерація Kaleido: K1—K80 (п'ятикутна призма перша)