В абстрактній алгебрі поле часток області цілісності A — найменше поле, що містить A як підкільце. Побудова поля часток узагальнює побудову множини раціональних чисел з множини цілих чисел.
Побудова
Нехай A — область цілісності. На множині E = A × A\{0} задається відношення еквівалентності: Якщо (a , b) і (c , d) — елементи множини E, то (a , b) ~ (c , d) тоді і тільки тоді, коли ad = bc.
Рефлексивність одержується безпосередньо оскільки (a , b) ~ (a , b) є рівносильним тому, що ab = ab. симетричність є наслідком комутативності поля адже ad = bc тоді й лише тоді, коли da = bc.
Якщо (a , b) ~ (c , d) то за означенням a = bcd-1 і з (c , d) ~ (e , f) випливає e = cfd-1. Відповідно, якщо виконуються ці дві еквівалентності одночасно, то: af = bcd-1f = be, тож також (a , b) ~ (e , f) і відношення є транзитивним.
На множині E можна ввести додавання і множення: Для (a , b) і (c , d), що належать E , (a , b) + (c , d) = (ad + bc , bd) Для (a , b) і (c , d), що належать E, (a , b) · (c , d) = (ac , bd)
Дані операції можна задати також і на класах еквівалентності визначеного відношення адже операції вд еквівалентних доданків чи множників даватимуть еквівалентні результати.
Якщо (a , b) ~ (a1 , b1) то bd (a1d + b1c) = a1bd2 + bd b1c = ab1d2 + bd b1c = b1d (ad + bc) тобто також справедливою є і еквівалентність (a , b) + (c , d) ~ (a1 , b1) + (c , d).
Для множення, якщо (a , b) ~ (a1 , b1) то acb1d = a1cbd, тому також (a , b) · (c , d) ~ (a1 , b1) · (c , d).
Якщо (a , b) ~ (a1 , b1) і (c , d) ~ (c1 , d1) то з попереднього і з транзитивності і симетричності: (a , b) + (c , d) ~ (a1 , b1) + (c , d) ~ (a1 , b1) + (c1 , d1) , тому (a , b) + (c , d) ~ (a1 , b1) + (c1 , d1) і аналогічно для множення.
Клас еквівалентності елемента (a , b) найчастіше позначається , дані класи називаються частками або дробами.
Ці класи еквівалентності з визначеними операціями задовольняють властивості:
Скорочення дробу : для ненульового c , ; комутативність і асоціативність операцій ; існування нульового елемента для додавання:
існування одиниці при множенні:
існування елемента — оберненого при додаванні до ;
існування елемента оберненого при множенні до ;
Дистрибутивність множення відносно додавання :
Отже класи еквівалентності на множині E = A × A\{0} разом з визначеними операціями додавання і множення утворюють поле. Дане поле і називається полем часток. Елементам області цілісності відповідають елементи поля часток, тобто існує природне вкладення A в дане поле.
Приклади
Полем часток для кільця цілих чисел є поле раціональних чисел . Нехай — кільце гаусових цілих чисел. Тоді — поле гаусових раціональних чисел. Поле часток для поля ізоморфне даному полю. Для поля K, полем часток многочленів однієї змінної K[X], є поле раціональних функцій K(X).
Див. також Повне кільце часток
Література