В Евклідовій геометрії описаний чотирикутник — опуклий чотирикутник, усі сторони якого є дотичними до кола, розташованого всередині чотирикутника. Також має назву дотичний чотирикутник ().
Саме коло називається вписаним колом чотирикутника, а його центр I — інцентром.
Центр вписаного в чотирикутник кола лежить на перетині бісектрис чотирьох його внутрішніх кутів.
Описаний чотирикутник є окремим випадком описаного багатокутника.
Особливі випадки Не кожен чотирикутник можна описати навколо кола. Прикладом чотирикутника, який не можна описати навколо кола, є прямокутник, який не є квадратом.
Будь-який дельтоїд (в тому числі і ромб, квадрат) можна описати навколо кола. Дельтоїди також є зовні-описаними чотирикутниками, та чотирикутниками з перпендикулярними діагоналями (ортодіагональними)..
В трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин її основ рівна сумі довжин її бокових сторін.
Біцентричний чотирикутник — це вписаний чотирикутник, який також є описаним. Прикладом може бути прямокутний дельтоїд, або рівнобічна трапеція, у якої висота є середнім геометричним між її основами.
Умови, за яких чотирикутник є описаним У цьому розділі наведено необхідні та достатні умови, щоб чотирикутник був описаним.
Опуклий чотирикутник можна описати тоді й лише тоді, коли чотири бісектриси його внутрішніх кутів є конкурентними, тобто, перетинаються в одній точці..
Ця спільна точка є центром вписаного кола. Також в цій точці перетинаються бісектриси внутрішніх кутів, утворених при перетині прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника.
Сума протилежних сторін.
Згідно з теоремою Піто:
Опуклий чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d можна описати навколо кола тоді і лише тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.
Те, що це твердження є також і достатньою умовою, було доведено Якобом Штейнером у 1846 році. Має місце і зворотня теорема, яка запропонована також Я.Штейнером : Якщо суми протилежних сторін чотирикутника рівні, то цей чотирикутник є описаним навколо деякого кола. Якщо протилежні сторони опуклого чотирикутника ABCD, який не є трапецією, перетинаються в точках E та F (прямі АВ і CD перетинаються в E, а прямі AD і BC перетинаються в F), то чотирикутник є описаним тоді і лише тоді, коли:
або
Ще одна необхідна і достатня умова полягає в тому, що опуклий чотирикутник ABCD є описаним тоді і тільки тоді, коли кола, вписані в два трикутники ABC і ADC (або ABD i BCD), дотичні одне до одного.
Діагоналі опуклого чотирикутника ABCD при перетині ділять його на чотири трикутники ∆ABD, ∆ABC , ∆BCD, ∆ACD. Кола, вписані в ці трикутники, дотикаються до сторін чотирикутника у восьми точках, по дві на кожну сторону. Чотирикутник є описаним чотирикутником тоді і тільки тоді, коли суми відстаней між точками дотику на протилежних сторонах чотирикутника рівні:
У 1954 році Маріус Йосіфеску (Marius Iosifescu) довів, що опуклий чотирикутник має вписане коло тоді і тільки тоді, коли.
Крім того, опуклий чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d є описаним тоді і тільки тоді, коли:
де Ra, Rb, Rc, Rd — радіуси вписаних ззовні кіл чотирикутника ABCD, які зовнішньо дотикаються до сторін a, b, c, d відповідно, і продовжень двох суміжних сторін для кожної сторони.
Формули для описаного чотирикутника
Площа
Нетригонометричні формули
Площу описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d можна знайти за формулою:
де r — радіус вписаного кола, — півпериметр чотирикутника ABCD.
Ця формула площі справедлива для всіх описаних багатокутників.
Формула площі описаного чотирикутника ABCD через його сторони a, b, c, d та діагоналі p та q:
Формула площі описаного чотирикутника ABCD через довжини дотичних відрізків e, f, g, h:
А також:
Оскільки тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник ABCD також є вписаним, тобто ABCD — біцентричний , то з формули видно, що описаний чотирикутник має максимальну площу тоді і тільки тоді, коли він є біцентричним.
Тригонометричні формули
Формула площі описаного чотирикутника ABCD через його сторони a, b, c, d та два протилежних кута:.
Для заданих довжин сторін площа є максимальною, коли чотирикутник також є вписаним і, отже, біцентричним чотирикутником. Для нього: , а отже,
Формула площі описаного чотирикутника ABCD через дві сусідні сторони та два протилежних кута:
Формула площі описаного чотирикутника ABCD через сторони a, b, c, d та кут між діагоналями:
Цю формулу не можна використовувати для дельтоїдів, оскільки в них діагоналі перпендикулярні: θ = 90°, і функція тангенса не визначена.
Формула площі описаного чотирикутника ABCD через відстані від його вершин до центра вписаного кола I та два протилежних кута:
Нерівності, пов'язані з площею Як опосередковано зазначено вище, площа описаного чотирикутника зі сторонами a, b, c, d задовольняє нерівності:
Рівність досягається тільки для біцентричного чотирикутника.
За Т. А. Івановою (1976 р.), півпериметр p описаного чотирикутника задовольняє нерівності:
де r — радіус вписаного кола. Рівність досягається тоді і тільки тоді, коли чотирикутник є квадратом.
Це означає, що для площі K = r p існує нерівність
де рівність досягається тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник є квадратом.
Радіус вписаного кола Радіус вписаного кола описаного чотирикутника ABCD зі сторонами a, b, c, d та площею S, можна обчислити за формулою:
Описаний чотирикутник з даними сторонами має максимальний радіус вписаного кола, якщо чотирикутник є одночасно і вписаним (тобто біцентричним).
Радіус вписаного кола також можна виразити через відстані від центру кола I до вершин описаного чотирикутника ABCD. Якщо u = AI, v = BI, x = CI і t = DI, то.:
де .
Радіус вписаного кола описаного чотирикутника ABCD через довжини дотичних відрізків e, f, g, h:.
Діагоналі описаного чотирикутника Якщо e, f, g та h — довжини дотичних до вписаного кола з вершин описаного чотирикутника A, B, C та D відповідно, а p = AC та q = BD — його діагоналі, то:
Формули кутів Якщо e, f, g та h — довжини дотичних до вписаного кола з вершин описаного чотирикутника A, B, C та D відповідно, то кути чотирикутника можна знайти за формулами:
Чотирикутник, утворений точками дотику вписаного кола до сторін описаного чотирикутника
Вписане в чотирикутник ABCD коло торкається до його сторін в чотирьох точках. Ці чотири точки формують новий чотирикутник усередині початкового, який є вписаним у вписане коло початкового чотирикутника.
Дві хорди («k» і «l» на малюнку) вписаного кола чотирикутника ABCD, що сполучають точки дотику вписаного кола на протилежних сторонах описаного чотирикутника, також є діагоналями контактного чотирикутника.
Довжини цих хорд:
де хорда довжиною k сполучає сторони чотирикутника a = e + f і c = g + h, а хорда довжиною l — сторони чотирикутника b = f + g і d = h + e.
Кут між хордами вписаного кола k та l :
де e, f, g та h довжини дотичних до вписаного кола з вершин описаного чотирикутника A, B, C та D відповідно. Відношення квадратів довжин цих хорд:
Хорди k та l:
перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник ABCD також є вписаним (тобто біцентричним).
мають однакову довжину тоді і тільки тоді, коли описаний чотирикутник ABCD є дельтоїдом.
Якщо описаний чотирикутник ABCD має точки дотику W до AB і Y до CD, і якщо хорда WY перетинає діагональ BD у точці M, то відношення довжин дотичних дорівнює відношенню відрізків діагоналі BD.
Властивості
Якщо чотирикутник описано навколо кола, то існує точка, рівновіддалена від усіх його сторін (центр вписаного кола). Щоб знайти цю точку, достатньо знайти точку перетину бісектрис двох сусідніх кутів цього чотирикутника. Всі сторони описаного чотирикутника є дотичними до кола Перпендикуляр, опущений з центра вписаного кола на будь-яку сторону описаного чотирикутника дорівнює радіусу кола. Відрізки дотичних до вписаного кола, проведені з однієї вершини, рівні. Чотири відрізки між центром вписаного кола та точками дотику до чотирикутника розділяють чотирикутник на чотири прямокутних дельтоїда . Якщо пряма розділяє описаний чотирикутник на два багатокутника з рівними площами та рівними периметрами, то ця пряма проходить через центр вписаного кола.
Колінеарні точки
Нехай точки M та N — середини діагоналей описаного чотирикутника ABCD , I — центр його вписаного кола, точка K — центр відрізка FE, який сполучає точки перетину прямих, що містять протилежні сторони чотирикутника. Тоді, точки M, N, K та I є колінеарними, тобто лежать на одній прямій. Ця пряма називається прямою Ньютона чотирикутника ABCD.
Також на цій прямій лежить вершинний центроїд Gv чотирикутника ABCD (точка перетину бімедіан чотирикутника; центр тяжіння рівних мас, зосереджених у вершинах чотирикутника), причому точка Gv знаходиться в середині відрізка MN.
Якщо прямі, що містять протилежні сторони описаного чотирикутника ABCD перетинаються в точках F та E, а прямі, що містять протилежні сторони чотирикутника, сформованого точками дотику вписаного кола до сторін ABCD, перетинаються в точках L та M, то чотири точки F, E, L і M колінеарні..
Якщо вписане коло дотикається до сторін AB, BC, CD, DA у точках T1, T2, T3, T4 відповідно, і якщо N1, N2, N3, N4 є ізотомічно спряженими точками цих точок відносно відповідних сторін (тобто , AT1 = BN1 і так далі), то точка Нагеля описаного чотирикутника визначається як перетин прямих N1N3 та N2N4. Обидві ці лінії ділять периметр чотирикутника навпіл.
Що ще важливіше, точка Нагеля N, «центроїд площі» G і центр вписаного кола I колінеарні в цьому порядку, і NG = 2GI.
Ця пряма називається лінією Нагеля описаного чотирикутника..
В описаному чотирикутнику ABCD із центром вписаного кола I, діагоналі перетинаються в точці P.
Нехай HX, HY, HZ, HW — ортоцентри трикутників AIB, BIC, CID, DIA. Тоді точки P, HX, HY, HZ, HW колінеарні.:
Конкурентні прямі Дві діагоналі описаного чотирикутника та дві хорди вписаного кола, що сполучають точки дотику на протилежних сторонах є конкурентні, тобто перетинаються в одні точці.
Один із способів довести це — граничний випадок теореми Бріаншона, яка стверджує, що шестикутник, усі сторони якого є дотичними до однієї коніки має три діагоналі, які перетинаються в одній точці. З описаного чотирикутника можна сформувати шестикутник із двома кутами 180°, розмістивши дві нові вершини у двох протилежних точках дотику; усі шість сторін цього шестикутника лежать на прямих, дотичних до вписаного кола, тому його діагоналі перетинаються в одній точці. Але дві з цих діагоналей збігаються з діагоналями описаного чотирикутника, а третя діагональ шестикутника є прямою, що проходить через дві протилежні точки дотику. Аналогічно доводиться перетин з хордою, що сполучає дві інші точки дотику.
Якщо продовження протилежних сторін описаного чотирикутника перетинаються в точках F і E, а діагоналі перетинаються в точці P, то пряма FE перпендикулярна до прямої, що містить відрізок IP , де I — центр вписаного кола.
Центр вписаного кола Центр вписаного кола описаного чотирикутника лежить на його прямій Ньютона (пряма, що проходить через середини діагоналей)...
Якщо I — центр вписаного кола чотирикутника ABCD, то виконуються наступні рівності:
1. Відношення протилежних сторін чотирикутника:
2. Добуток двох суміжних сторін:.
3. Також:
4. Центр вписаного кола I в описаному чотирикутнику ABCD збігається з «центроїдом вершин» чотирикутника тоді і тільки тоді, коли:
5. Якщо M і N є серединами діагоналей AC і BD відповідно в описаному чотирикутнику ABCD з центром вписаного кола I, тоді
де e, f, g і h — довжини дотичних в вершинах A, B, C і D відповідно.
Поєднуючи першу рівність із попередньою властивістю, отримаємо що «центроїд вершини» описаного чотирикутника збігається з центром вписаного кола тоді і тільки тоді, коли центр вписаного кола є серединою відрізка MN, що з'єднує середини діагоналей.