Логічна еквівалентність (еквіваленція) — двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною. Операція відображає вживання сполучника «тоді і тільки тоді» в логічних висловлюваннях.

Еквівалентність позначають символами: , . ( , ).

Висловлення є правдивим тоді і тільки тоді, коли водночас правдиві обидві імплікації та , тобто: .

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази: A тоді і тільки тоді, коли B A якщо B і B якщо A Для A достатньо і необхідно B A матеріально еквівалентно B

Визначення Таблиця істинності виглядає таким чином:

Ця таблиця відрізняється від таблиці істинності для імплікації другим рядком, а від таблиці істинності для конверсії імплікації  — третім рядком.

Також еквівалентність є запереченням виключної диз’юнкції, тобто

Оскільки імплікація виражає відношення між достатньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації  — між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достатньою і необхідною умовою та її наслідком.

Наприклад, "Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст", "Якщо геометрична фігура квадрат, то її діагоналі діляться навпіл". Як у матеріальній імплікації сполучник "якщо, то ..." не виражає смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції сполучник "якщо і тільки якщо" не виражає змістовно зв'язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями ("істина", "хибність"). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.

Знання логічної еквіваленції дає можливість: а) спростити запис послідовності висловлювань; б) перейти від одного висловлювання до логічно еквівалентного йому (тобто, з тим самим істинним значенням); в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

Властивості

рефлексивність

асоціативність

комутативність

дистрибутивність

Функціональна повнота Множина операцій є функціонально повною:

...

Див. також

Відношення еквівалентності Булева множина Правила де Моргана Список логічних символів

Джерела

Еквівалентність //