Банахова алгебра — це топологічна алгебра над полем комплексних чисел, топологія якої визначається нормою, що перетворює в банахів простір. При цьому, за означенням топологічної алгебри, функція добутку елементів неперервна по кожному із множників.
Найважливіший і найкраще вивчений клас утворюють комутативні банахові алгебри, в яких за визначенням
За принципом рівномірної неперервності, у будь-якій банаховій алгебрі маємо тому норму в можна замінити на еквівалентну, що задовольняє
Банахова алгебра називається алгеброю з одиницею, якщо вона містить елемент такий, що Якщо не має одиниці, то її можна приєднати, створивши банахову алгебру з одиницею і нормою
що містить алгебру як замкнуту підалгебру. Тому звичайно вважають, що банахова алгебра задовольняє (*) і має одиницю.
Приклади
1) Нехай — компактний топологічний простір, — сукупність усіх неперервних комплексних функцій, визначених на . Це — комутативна банахова алгебра відносно поточкових операцій додавання та множення, з нормою
2) Простір послідовностей для яких з нормою звичайним додаванням і добутком за формулою
3) Множина всіх обмежених лінійних операторів на банаховому просторі утворює банахову алгебру відносно звичайних операцій додавання і множення лінійних операторів і норми оператора. Зокрема, банахову алгебру утворюють всі обмежені лінійні оператори на гільбертовому просторі .
4) Групова алгебра локально компактної топологічної групи де добуток — це згортка функцій на
Спектри Спектр елемента унітальної комплексної банахової алгебри — непорожній компакт. Для будь-якого компакта спектр на збігається з , тобто інших обмежень немає. Спектральним радіусом елемента називається Для нього існує формула спектрального радіуса Якщо -унітальний (переводить одиницю в одиницю ) гомоморфізм, то для будь-якого виконане . Тобто при гомоморфізмі спектр або зберігається, або зменшується. Якщо — многочлен з комплексними коефіцієнтами, тоді . Це твердження також вірно для будь-якої голоморфної функції, зокрема синуса, логарифма та експоненти.
Алгебри з інволюцією та алгебри
У більшості природно виникаючих банахових алгебр є операція спряження, тобто деяке неперервне відображення до себе,
Елемент називається: нормальним, якщо ермітовим, якщо унітарним, якщо Це узагальнює відповідні ознаки лінійних операторів.
Алгебра обмежених операторів на гільбертовому просторі являє собою банахову алгебру з інволюцією, де — це спряжений до оператора . Виникає природне питання, чи можна реалізувати будь-яку банахову алгебру з інволюцією як підалгебру Це питання було повністю розв'язано І. М. Гельфандом і М. А. Наймарком.
Банахова алгебра з інволюцією називається алгеброю, якщо виконується тотожність для всіх
Неважко побачити, що в алгебрі це так. Гельфанд і Наймарк довели, що і навпаки, будь-яка алгебра допускає точне *-зображення у Так звана ГНС конструкція (на честь Гельфанда, Наймарка і Сегала), що надає канонічне таке зображення, відіграє найважливішу роль в алгебраїчній квантовій теорії поля.
І. М. Гельфанд також довів, що будь-яка комутативна алгебра з одиницею має вигляд (див. Приклад 1). Компактний топологічний простір можна знайти розглядаючи ненульові характери алгебри , або її максимальні ідеали, Некомутативна геометрія А.Конна розглядає довільну (некомутативну) алгебру як алгебру функцій на (неіснуючому) некомутативному просторі .
Теорія алгебр використовується в теорії зображень і сучасний топології, зокрема K-теорії і теорії шаруваннь.
Див. також Список об'єктів, названих на честь Стефана Банаха
Література