— це матрична функція , чиї стовпчики є лінійно незалежними розв'язками системи диференціальних рівнянь. Тут — скалярна змінна («час»), — невідомий залежний від -вимірний вектор, — залежна від матриця розмірності .
Якщо матриця неперервна за , існують рівно лінійно незалежних вектор-функцій — роз'язків системи, яку називають фундаментальною системою розв'язків. Матрицю, утворену цими вектор-стовпчиками, називають фундаментальною матрицею системи.
Загальний розв'язок системи можна записати як , де — вектор сталих.
Матрична функція є фундаментальною матрицею для тоді й лише тоді, коли . невироджена для всіх .Chi-Tsong Chen. 1998. Linear System Theory and Design (3rd ed.). Oxford University Press, Inc., New York, NY, USA.
Нормована фундаментальна матриця
Єдина фундаментальна матриця , що задовольняє умову
де — одинична матриця, називається нормованою фундаментальною матрицею в .
Оскільки змінна зазвичай позначає час, то зручно нормувати фундаментальну матрицю в початковій точці що дозволяє швидко знайти розв'язок для задачі Коші з заданими початковими умовами
Розв'язком задачі Коші буде
Обчислити матрицю можна таким чином:
де — будь-яка фундаментальна матриця системи.
Якщо матриця системи є сталою, нормована фундаментальна матриця виражається через матричну експоненту . Відповідно знаходять розв'язок задачі Коші:
Матрицант
Якщо розглядати початкову точку як параметр , отримаємо матрицант
Властивості матрицанта:
Метод варіації довільної сталої
Для лінійної неоднорідної системи
за методом варіації довільної сталої розв'язок задачі Коші можна виразити наступним чином:
Аналогічно розв'язок нелінійної системи з виділеною лінійною частиною
можна шукати як нерухому точку оператора правої частини інтегрального рівняння
Узагальнення
Поняття матрицанта лінійної системи (еволюційний оператор) узагальнено для систем імпульсних рівнянь, систем у абстрактних просторах і т. д.
Див. також Система лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами
Примітки
Джерела