У лінійній алгебрі і теорії матриць доповнення Шура для блоку матриці (тобто, підматриці в більшій матриці) визначено так. Припустимо A, B, C, D є матриці відповідно p×p, p×q, q×p і q×q, і D оборотна. Нехай

так що M — це матриця (p+q)×(p+q).

Тоді доповнення Шура для блоку D матриці M це матриця p×p

Його назвали на честь Ісаї Шура, який використав його для доведення леми Шура, хоча його використовували і до того.

Підґрунтя

Доповнення Щура виникає як результат застосування методу Гауса щодо блоків через множення на матрицю M на блокову нижньотрикутну матрицю

Тут Ip позначає одиничну матрицю p×p. Після множення на матрицю L доповнення Щура з'являється у горішньому p×p блоку. Матрицю добутку така

Це аналогічно до LDU-розкладу матриці. Тобто, ми щойно показали, що

отже, обернена до M можна представити за участю D−1 і оберненого доповнення Щура (якщо воно існує) як

Якщо M — симетрична додатноозначена матриця, то й так само буде доповнення Щура для D у M.

Якщо p і q дорівнюють 1 (тоюто A, B, C і D є скалярами), то ми отримуємо формулу для обернення матриці 2-на-2:

за умови, що AD − BC не нуль.

Більше того, також чітко видно, що визначник M задається формулою

яка узагальнює формулу визначника у випадку матриць 2-на-2.

Умови на додатню визначеність і додатню напіввизначеність

Нехай X — це симетрична матриця задана так

Нехай X/A буде доповненням Щура для A в X, тобто

і X/C буде доповненням Щура для C в X, тобто

Тоді X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли A і X/A додатно визначені: .

X — додатно визначена тоді і тільки тоді коли C і X/C додатно визначені: .

Якщо A — додатно визначена, тоді X — додатно напіввизначена тоді і тільки тоді коли X/A є додатно напіввизначеною: , .

Якщо C є додатно визначеною, тоді X — додатно напіввизначеною тоді і тільки тоді коли X/C є додатно напіввизначеною: , .

Перше і третє твердження можна отримати Schur Complement Lemma на berkeley.eduBoyd, S. and Vandenberghe, L. (2004), "Convex Optimization", Cambridge University Press (Appendix A.5.5) через розгляд мінімізатора величини

як функції від v (для фіксованого u).

Далі, оскільки

і подібно для додатно напіввизначених матриць, друге (четверте) твердження негайно випливає з першого (відповідно третього) твердження.

Також існує необхідна і достатня умова на додатню напіввизначенність X в термінах узагальненого доповнення Щура. А саме,

і

де позначає узагальнену обернену матрицю для .

Див. також Матрична тотожність Вудбурі Лема обернення матриці

Примітки

Джерела