Топологія. Топологічний простір Головною ідеєю топології є суцільність, тобто неперервність. Уявіть собі суцільний шматок тіста або пластиліну у формі кулі, який можна деформувати у певну множину фігур - наприклад, у повнотілі фігурки тварин (ведмедя, зайця чи іншої тварини). Порушуючи суцільність, наприклад, проколюючи цей суцільний шматок (роблячи у ньому отвір), ми отримуємо іншу форму, яка визначає множину інших фігур - серед них, наприклад, бублик або кружка.

Тобто фігура є частиною більш загального явища - форми, яку можна деформовувати. У топології замість слова форма застосовують словосполучення топологічний простір, а під деформаціями розуміють взаємно однозначні відрображення топологічних просторів. Якщо два топологічні простори можна деформувати один в одного, то вони називаються гомеоморфними. При цьому кажуть, що топологічні простори є однакового топологічного типу, якщо вони гомеоморфні.

Краще розуміння поняття суцільності дає кінематичне задання лінії, поверхні та об'ємної фігури. Множина послідовних положень точки утворює лінію. Тобто, торкаючись ручкою паперу, ми утворюємо точку. При цьому потрібно зауважити, що точка не має конкретних розмірів чи структури, однак вважається геометричним об'єктом. Якщо, не відриваючи ручки від паперу, перемістити цю точку з однієї частини паперу до іншої, утвориться неперервна лінія (пряма чи крива), що складається з послідовних положень цієї точки. Таким самим чином множина послідовних положень лінії утворює поверхню. А множина послідовних положень поверхні утворює об'ємну фігуру. Такі множини називаються неперервними. Якщо розглянути окремі два положення точки на шляху її руху, то незалежно від того, наскільки ці положення точки близькі один до одного, завжди буде існувати ще одне положення точки між ними. Тобто, на якому масштабі б ми не розглядали лінію, вона не буде мати розривів - буде повністю складатися із точок у будь-якому місці на ній. Варто відзначити, що у топології з точки не можна отримати лінію чи іншу фігуру (оскільки вони складаються з множини точок), однак у зворотному напрямку можна стиснути лінію чи іншу фігуру у точку - таке стиснення називається стягуванням топологічного простору в точку.

Поняття неперервності базується на ряді аксіом, що виражають неперервність лінії. Однією з таких аксіом є аксіома Дедекінда, яка полягає у наступному: якщо усі точки відрізка прямої розбити на два класи - та , кожний з яких не пустий, і таким чином, що: кожна точка відрізка належить лише одному класу, тобто точка належить першому класові, а точка належить другому класові, кожна точка першого класу, відмінна від точки лежить на лінії між точкою та довільною точкою другого класу; якщо кожна точка другого класу, відмінна від лежить між точкою першого класу та точкою то існує точка причому лише одна, яка належить відрізку де та - довільні точки першого та другого класів відповідно. Точка може належати як до так і до

Відкриті і замкнуті множини Топологічна структура на множині - це система підмножин, виділених у яка задовільняє аксіомам топології (або аксіомам відкритих множин): будь-які об'єднання цих підмножин належать до скінченні перетини цих підмножин належать до сама множина та підмножина належать до

Підмножини які входять до системи підмножин називаються відкритими множинами. Підмножини називають також картами, а систему яка складається з цих карт та пустої множини називають атласом. Атлас складається із окремих карт, які описують окремі області топологічного простору. Наприклад, якщо під топологічним простором розуміти поверхню Землі, то слова карта та атлас набувають своїх звичних значень.

Доповнення відкритих множин називаються замкнутими множинами. Система замкнутих множин задовільняє двоїстим аксіомам: скінченні об'єдннання й будь-які перетини замкнутих множин, а також та є замкнутими множинами.

Множина, наділена топологічною стуктурою, називається топологічним простором, а її елементи - точками. Топологічний простір позначається Часто символ не вживають і пишуть просто

Відкрита множина називається околом своїх точок, а також кожної підмножини, яка належить до неї.

Топологічна структура більша від структури (), якщо у міститься більше відкритих множин, ніж у Однак дві топології на множині можуть бути непорівнюваними, якщо структури не мають спільних відкритих множин. Таким чином, множина структур є частково впорядкованою.

Дві топологічні структури та на множині співпадають, якщо відкриті множини однієї структури є відкритими множинами й у іншій структурі. Іншими словами, кожний окіл з однієї структури містить окіл з іншої структури. У цьому випадку відкрита множина однієї структури є об'єднанням відкритих множин іншої.

Аксіоми відокремлюваності. (Аксіома Гаусдорфа). Для кожної пари різних точок існують такі непересічні відкриті множини та (), що

Якщо у топологічному просторі існують невідокремлювані пари точок (у такої пари усі околи точок є спільними), то виникає відношення еквівалентності: точки у одному класі еквівалентності попарно невідокремлювані одна від одної, і кожна відкрита множина складається із цілих класів.

(Аксіома Колмогорова). У кожній парі точок хоча б одна точка має околи, що не містять іншу точку. У просторі виникає часткова впорядкованість, якщо окіл точки містить точку (тобто якщо кожний окіл є околом ). Іншими словами, якщо у множині є ієрархія, яка є транзитивною ("керівник керівника також є моїм керівником"), то у цій множині виникає топологія, якщо відкритою вважати множину, у якій кожна точка міститься разом із її підлеглими.

Індукована топологія. Кожна підмножина наділена індукованою топологічною структурою: відкритими підмножинами у відносно цієї структури вважаються перетини відкритих підмножин При цьому говорять, що відкрита відносно Підмножина із індукованою структурою називається підпростором топологічного простору Таким чином, будь-яка підмножина топологічного простору може розглядатися як топологічний простір, якщо в якості відкритих підмножин множини прийняти перетини де - відкриті множини простору

Внутрішністю підпростору у називється максимальна відкрита підмножина простору що міститься у зокрема, це множина (можливо ) усіх точок, які містяться у із своїми околами. Іноді вживають запис для позначення підпростору топологічного простору Точки, які належать до називаються внутрішніми.

Зовнішністю підпростору називється максимальна відкрита множина, яка не перетинається із зокрема, зовнішність є доповненням внутрішності, зовнішністю є множина усіх точок, які мають окіли, які не перетинаються із Таким чином, Точки, які належать до називаються зовнішніми.

Доповнення до об'єднання внутрішності та зовнішності називається границею підпростору Границя - множина усіх точок, кожний окіл яких перетинається одночасно із внутрішністю та зовнішністю Точки, які належать до границі називаються граничними.

Замиканням підпростору називається - множина усіх точок околи яких перетинаються із Замикання підпростору є доповненням до його зовнішності (у якому кожна точка має окіл, який не перетинається із ); відповідно, підпростір замкнутий.

Таким чином, якщо підпростір відкритий, то Так само, підпростір замнутий у якщо Зокрема, замикання самого замикання є замкнутим ().

Алгебра множин і топологія З аксіом загальної топології можна вивести деякі наслідки алгебри множин. У загальній топології об'єктом дослідження є непуста множина яка називається простором, елементи якої є точками. Кожній підмножині множини відповідає множина яка називається замиканням множини що також належить множині Простір є топологічним, якщо для нього справджуються наступні аксіоми: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Ці аксіоми справджуються, наприклад, якщо є множиною точок площини, а операція замикання полягає у прикладанні до усіх граничних точок цієї множини, таких точок що довільне коло із центром у містить принаймні одну точку множини

З даних аксіом можна вивести за допомогою законів алгебри множин різні властивості операції замикання. Зокрема, маємо Справді. Для кожної є відним а за третьою аксіомою

Далі, Справді, з того, що за першою аксіомою отримуємо а звідси та, таким чином,

Розгляньмо імплікацію Включення є еквівалентним рівності звідки за першою аксіомою отримаємо відповідно,

Далі, розгляньмо Справді, оскільки та то та Перемножимо ці включення за врахування закону ідемпотентності.

Якщо та то Справді, згідно до третьої аксіоми, а Тому Множина, що співпадає із своїм замиканням, називається замкнутою. Силогізм у цьому абзаці означає, що добуток двох замкнутих множин є замкнутим, а формула - що сума двох замнутих множин є замкнутою.

Множина називається доповненням множини Відкриті множини мають таку характеристичну властивість: якщо точка міститься у відкритій множині то існує коло із центром у точці яке повністю міститься у Множина називається внутрішністю множини

Розгляньмо З третьої аксіоми отримуємо звідки отримуємо

або

З того, що слідує, що Це твердження можна посилити наступним чином: Справді, з визначення слідує, що та

Неперервні відображення Нехай - відображення топологічного простору до топологічного простору Відображення називається неперервним у точці якщо будь-якому околу точки відповідає деяка область точки така, що Відображення називається неперервним, якщо воно є неперервним у кожній своїй області визначення

Таким чином, відображення є неперервним лише тоді, коли прообраз при цьому відображенні будь-якої відкритої множини з представляє собою відкриту множину з Якщо відображення є неперервним та - відкрита множина з то множина є окілом будь-якої точки що задовільняє умові тобто є окілом будь-якої точки, яка до нього входить, та, відповідно, відкритою множиною. Навпаки, якщо для будь-якої відкритої множини (де ) простору множина простору є відкритою, то відображення є неперервним у точці

Відображення є замкнутим, якщо образ будь-якої замкнутої множини за відображення є замнутим (за аналогією до визначення відкритих відображень). Неперервне відображення може бути ні відкритим, ні замкнутим одночасно; відкритим, але не замкнутим; замкнутим, але не відкритим; відкритим і замкнутим одночасно.

Відкрите відображення іноді називається також внутрішнім.

Розгляньмо взаємно однозначне й неперервне відображення, яке не є гомеоморфізмом. Нехай - цілі числа із дискретною топологією, а - раціональні числа на відрізку із топологією, індукованою вкладенням Топологія на не є дискретною, тому не усі множини є відкритими. Відтак простори та не гомеоморфні. У той же час множини та є зліченними, відтак існує взаємно неперервне однозначне відображення оскільки - дискретний простір (найслабша топологія за аксіоми Колмогорова).

Нехай - довільна відкрита множина у Для кожного диференційовуваного відображення визначені його частинні похідні та диференціал де - простір усіх лінійних відображень Диференціал виражається через частинні похідні за наступною формулою: для та

Розгляньмо довільні множини та Відображення називається відображенням класу якщо існують такі відкриті множини та та таке відображення що і для будь-якого усі частинні похідні існують і є неперервними на Композиція відображень та класу є також й відображенням класу

Відображення класу називається дифеоморфізмом класу якщо існує зворотне відображення яке також є відображенням класу

Для будь-яких відображень й класу справедлива наступна формула (правило диференціювання складної функції).

Покриття. Многовиди Система підмножин множини називається її покриттям (кажуть, що покриває ), якщо (об'єднання цих множин співпадає із ). Якщо чисельність елементів покриття є скінченним або зліченним, то говорять, що покриття відповідно скінченне або зліченне. Якщо елементи покриття відкриті або відповідно замкнуті підпростори простору то покриття називається відповідно відкритим чи замкнутим.