Аналіти́чний про́стір — це окільцьований простір, локально влаштований як аналітична множина.
Загальний опис Аналітичний простір — це окільцьований простір, такий, що кожна точка має відкритий окіл U, для якого ізоморфний деякій аналітичній множині , отриманій з когерентного пучка ідеалів голоморфних функцій у деякій області B. Зокрема, є когерентним пучком локальних -алгебр. Наприклад, коли для всіх обраних U, то і аналітичний простір є (комплексним) аналітичним многовидом. Якщо для локальної моделі маємо — когерентний пучок ідеалів, що з відкритою підмножиною пов'язує , то аналітичний простір називається зведеним. Оскільки вкладається в пучок неперервних функцій на A, то для зведеного аналітичного простору . Для кожного пучка комутативних кілець на X позначимо його нільрадикал, а саме: — ідеал нільпотентних елементів в , . Для зведеного аналітичного простору маємо . Для довільного аналітичного простору визначимо його зведення як , де .
Морфізми аналітичних просторів Морфізми аналітичних просторів — це морфізми окільцьованих просторів, тобто пари , де — неперервне відображення топологічних просторів, а - гомоморфізм пучків -алгебр. Наприклад, для довільного аналітичного простору морфізм зведення складається з тотожного відображення і канонічної проєкції . є функтором з категорії аналітичних просторів до повної підкатегорії зведених аналітичних просторів і є природним перетворенням. Морфізм зведених аналітичних просторів допускає простий опис: це неперервне відображення , таке, що для кожної точки і кожного , що розглядається як паросток неперервної функції, паросток належить .
Властивості Аналогічні означення (але не результати) формулюються над іншими повними полями k з недискретним нормуванням. Для йдеться про дійсні аналітичні функції, дійсні аналітичні простори, тощо. Властивість притаманна лише алгебрично замкненим полям k. Тому у випадку лише зведені дійсні аналітичні простори наповнені геометричним змістом. Крім того, структурний пучок на дійсному аналітичному просторі не обов'язково є когерентним.
Аналітичні підмножини A комплексних аналітичних просторів визначаються як носії для когерентного пучка ідеалів . Вони самі є аналітичними просторами і можуть бути задані локальними рівняннями (теорема Картана-Ока): нехай A — замкнена підмножина X і для довільної точки існують такий окіл в X і такі елементи , що . Тут f(x) визначена як . Тоді A є аналітичною множиною, а саме носієм для когерентного ідеалу , де U відкрита в X. Наприклад, множина S особливих точок (тих, що не є регулярними) аналітична.
Для кожної точки аналітичного простору стебло є аналітичною локальною k-алгеброю, тобто факторалгеброю нетерової алгебри збіжних рядів від m змінних. Скінченнопороджений модуль M над має вимірність Шевале , це найменша довжина d набору , \dots, ( — максимальний ідеал ) такого, що — скінченновимірний k-векторний простір. Зокрема, . Глобальна вимірність X - це . Для незвідної аналітичної множини A функція постійна на A (і приймає значення ). У кодотичного простору вимірність . Точка x аналітичного простору X називається неособливою (або регулярною), якщо існує окіл такий, що локальна модель ізоморфна області в . Ця умова еквівалентна рівності . Якщо X зведений, то множина S особливих точок ніде не щільна в X, отже має ковимірність щонайменше 1 в кожній точці . Множина S особливих точок аналітичного простору X порожня тоді і лише тоді, коли X — аналітичний многовид. Якщо , для достатньо малої і відповідної локальної моделі топологічна вимірність .
Непорожня аналітична множина A комплексного аналітичного простору X називається незвідною, якщо вона не є об'єднанням аналітичних множин та . Кожна аналітична множина A в X єдиним чином розкладається в об'єднання непорожніх незвідних аналітичних множин таких, що (1) сім'я локально скінченна в X; (2) для кожної пари , , перетин ніде не щільний в . Множини називаються незвідними компонентами множини A.
Один з класів комплексних аналітичних просторів становлять простори Штайна — такі, що для кожного когерентного пучка -модулів маємо при . Для аналітичних просторів X зі зліченною базою топології штайновість еквівалентна умові для кожного когерентного пучка ідеалів . Штайновість аналітичного простору X еквівалентна штайновості його зведення . Близькість теорії просторів Штайна до аналізу і топології ілюструється принципом Ока: на зведеному просторі Штайна голоморфні задачі, які можуть бути сформульовані в термінах когомологій, (задачі Кузена тощо) мають голоморфний розв'язок тоді і лише тоді, коли вони мають неперервний розв'язок.
Див. також
Аналітичний многовид
Література
Велика українська енциклопедія
Abhyankar S. S., Local analytic geometry, Pure and Applied Mathematics, vol. XIV, Academic Press, New York-London, 1964.
Gunning R. C., Rossi H., Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965.
Grauert H., Remmert R., Analytische Stellenalgebren, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 176, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971.
Grauert H., Remmert R., Theorie der Steinschen Räume, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 227, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977.