В математиці, а саме в топології ретрактом називають підпростір топологічного простору для якого існує ретракція — неперервне відображення з більшого простору в підпростір, що є тотожним відображенням на підпросторах. Ретракти і їх особливі види, як наприклад деформаційні ретракти і абсолютні ретракти мають важливе застосування в багатьох розділах топології, зокрема теорії гомотопій і теорії гомологій.
Означення Нехай — топологічний простір і — його підпростір. Неперервне відображення
називається ретракцією якщо звуження функції r на множину є тотожним відображенням на , тобто . Еквівалентно, позначивши
вкладення в , ретракцією r є відображення для якого
Ретрактом топологічного простору називається підпростір цього простору, для якого існує ретракція на .
Пов'язані означення Підпростір простору називається околичним ретрактом цього простору, якщо в існує відкритий підпростір, що містить , і для якого є ретрактом. Якщо ретракція простору на його підпростір гомотопна тотожному відображенню простору на себе, то називається деформаційним ретрактом простору . Згідно означень в цьому випадку існує неперервне відображення що задовольняє умови Якщо додатково виконується умова то називається сильним деформаційним ретрактом простору Метризовний простір називається абсолютним ретрактом (абсолютним околичним ретрактом), якщо він є ретрактом (відповідно околичним ретрактом) будь-якого метризовного простору, для якого є замкнутим підпростором.
Властивості Якщо простір є гаусдорфовим, то будь-який ретракт простору є замкнутим в . При переході від простору до його ретрактів зберігаються багато важливих властивостей. Зокрема, будь-яка властивість, яка зберігається при переході до неперервного образу, так само як і будь-яка властивість, що успадковується замкнутими підпросторами, зберігається і при переході до ретрактів. Тому компактність, зв'язність, лінійна зв'язність, сепарабельність, обмеження зверху на розмірність, паракомпактність, нормальність, локальна компактність , локальна зв'язність зберігаються при переході до ретрактів. Якщо простір має властивість нерухомої точки, тобто для кожного неперервного відображення існує точка така, що , то і кожен ретракт простору має властивість нерухомої точки. Поняття ретракту має пряме відношення до питання про можливість продовження неперервних відображень. Так, підпростір простору є його ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке неперервне відображення простору в довільний топологічний простір можна продовжити до неперервного відображення всього простору в .
Властивості деформаційних ретрактів Деформаційний ретракт простору гомотопічно еквівалентний цьому простору, тобто має з ним один і той же гомотопічний тип. Навпаки, два гомотопічно еквівалентних простори завжди можна вкласти в деякий третій простір таким чином, що обидва вони будуть його деформаційними ретрактами.
Властивості абсолютних ретрактів Для того щоб метризовний простір простір був абсолютним ретрактом, необхідно, щоб він був ретрактом деякого опуклого підпростору лінійного нормованого простору, і достатньо, щоб був ретрактом опуклого підпростору локально опуклого лінійного простору. Довільний ретракт абсолютного ретракта знову є абсолютним ретрактом. Кожен абсолютний ретракт є стягуваним по собі і локально стягуваним. Всі редуковані гомологічні, редуковані когомологічіні, гомотопічні і когомотопічні групи абсолютного ретракта є тривіальними. Метризовний простір є абсолютним ретрактом в тому і тільки в тому випадку, якщо, які б не були метризовний простір , його замкнутий підпростір і неперервне відображення простору в , його можна продовжити до неперервного відображення всього простору в . Метризовний простір є абсолютним ретрактом тоді і тільки тоді коли він є стягуваним і абсолютним околичним ретрактом. Абсолютні околичні ретракти є ретрактами відкритих підмножин опуклих підпросторів лінійних нормованих просторів. До їх числа відносяться всі компактні поліедри. Істотною їх властивістю є локальна стягуваність. Будь-яка відкрита підмножина абсолютного околичного ретракта є абсолютним околичним ретрактом. Якщо для метризовного простору існує покриття абсолютними околичними ретрактами то і сам простір є абсолютним околичним ретрактом. Довільний абсолютний околичний ретракт має тип гомотопії деякого CW-комплекса. Якщо до того ж простір є компактним то він має тип гомотопії скінченного CW-комплекса, а у випадку локальної компактності він має тип гомотопії локально скінченного CW-комплекса. Метризовний прості є абсолютним околичним ретрактом тоді і тільки тоді коли кожна його відкрита підмножина має тип гомотопії деякого CW-комплекса.
Приклади Ретракт простору може бути набагато простішим його самого і більш зручним для конкретного дослідження. Так, одноточкова множина є ретрактом відрізка, прямої, площини. Будь-яка непорожня замкнута підмножина досконалої множини Кантора є її ретрактом. n-вимірна сфера Sn не є ретрактом (n+1)-вимірної кулі Bn+1 евклідового простору, де так як замкнута куля має властивість нерухомої точки (теорема Брауера), а сфера цієї властивості не має. Деяка (насправді довільна) точка простору є деформаційним ретрактом тоді і тільки тоді коли простір є стягуваним. n-вимірна сфера Sn є сильним деформаційним ретрактом простору Rn+1\{0}; за гомотопне відображення можна взяти відображення
Всі опуклі підпростори локально опуклих лінійних просторів є абсолютними ретрактами; зокрема, такі як точка, відрізок, куля, пряма. Будь-який нормований простір є абсолютним ретрактом. Будь-який топологічний многовид є абсолютним околичним ретрактом. Будь-який локально скінченний CW-комплекс є абсолютним околичним ретрактом.
У замкнутій топологічна мітла одиничний відрізок [0, 1] на осі x є деформаційним ретрактом але не є сильним деформаційним ретрактом. Ще одним подібним прикладом є топологічний гребінь, тобто підмножина евклідової площини з топологією, індукованої стандартною топологією. У цьому просторі відрізок відрізок [0, 1] на осі y є деформаційним ретрактом але не є сильним деформаційним ретрактом.
Література