База околів у точці і система околів — базові поняття у загальній топології, за допомогою яких можна дати означення топологічного простору, еквівалентні стандартним означенням за допомогою відкритих множин. За допомогою систем чи баз околів дається означення неперервної у точці функції.
Означення Нехай — топологічний простір і . Множина всіх околів (не обов'язково відкритих) точки називається системою околів у точці . Для неї використовується позначення
Множина околів точки називається базою околів у точці або фундаментальною системою околів точки якщо: .
У подібний спосіб також можна дати означення систем і баз околів довільної підмножини топологічного простору.
Приклади Система околів точки є також базою околів у цій точці. Якщо є дискретним простором, то (одноелементна множина) є базою околів у . Якщо є антидискретним простором, то є базою околів у . Якщо є метричним простором з метрикою і для точки і числа позначимо , то тоді сім'я є базою околів у .
Властивості Тут, як і у статті Окіл, околом точки називається множина, що містить відкриту множину, елементом якої є дана точка, тобто околи не обов'язково є відкритими множинами.
Нехай є системою околів топологічного простору . Тоді виконуються такі властивості: Для кожного , і для кожного . Якщо і то також . Якщо , то існує , такий що для кожної точки . Перетин скінченної кількості елементів теж є елементом . Перші дві властивості випливають із означення околу точки, четверта із того, що перетин скінченної кількості відкритих множин є відкритою множиною (і з того факту, що за означенням кожен окіл містить відкритий окіл). У третій властивості за множину можна взяти довільний окіл, який існує за означенням. Властивість одержується з того факту, що відкрита множина є околом всіх своїх точок і тому довільна множина, що її містить теж є околом всіх її точок.
Навпаки, припустимо, що є непустою множиною і є системою сімей підмножин , що задовольняють властивості 1 - 4. Нехай — сім'я всіх підмножин , таких що для всіх . Тоді є топологією на і є системою околів для цієї топології. Топологія називається топологією породженою системою околів . Таким чином система околів може бути одним із способів задання топології на множині. Очевидно, що пуста множина і весь простір належать . Для довільної сім'ї множин із їх об'єднання містить кожну із цих множин і тому, згідно другої властивості, є околом всіх своїх точок. Тобто об'єднання довільної сім'ї множин із теж належить . Для скінченної сім'ї множин із кожна з цих множин є околом кожної з точок їх перетину і тому для кожної з цих точок перетин множин є околом (згідно четвертої властивості). Тому перетин скінченної сім'ї підмножин з теж належить і тому є топологією. Згідно другої властивості кожен окіл точки належить . Навпаки нехай і — множина точок , для яких . Очевидно що і . Доведемо, що множина є відкритою у топології . Нехай . Тоді згідно властивості 3 існує така множина , що для всіх . Тоді з означення маємо, що і оскільки то з другої властивості також . Оскільки точка була довільною, то є околом всіх своїх точок, тобто відкритою множиною у топології .
Аналогічно топологію можна задавати за допомогою бази околів, як сім'ю підмножин , що задовольняють властивості (які виконуються для баз околів): Для кожного , і для кожного . Якщо , то існує , така що для кожної точки існує . Перетин скінченної кількості елементів містить деякий елемент .
Кардинальні функції З поняттям бази околів пов'язані наступні поняття: Характер точки у топологічного простору найменша можлива потужність бази околів у цій точці. Характер точки позначається . Характер простору за означенням рівний .
Див. також База топології Окіл Топологічний простір
Джерела