В теорії чисел, теорема Лохса — теорема про швидкість збіжності розкладу ланцюгового дробу типового дійсного числа. Доведення теореми було опубліковано Ґуставом Лохсом в 1964 році.
Теорема стверджує, що для практично всіх дійсних чисел в інтервалі (0,1) кількість членів m у розкладі ланцюгового дробу цього числа, необхідних для визначення перших n місць десяткового зображення числа асимптотично поводисться як:
.
Оскільки ця межа лише трохи менша одиниці, що можна інтерпретувати як те, що кожен додатковий термін у розкладі ланцюгового дробу «типового» дійсного числа збільшує точність наближення приблизно на одну десяткову позицію. Десяткова система є останньою позиційною системою запису, для якої кожна цифра містить менше інформації, ніж одна частка (коефіцієнт) ланцюгового дробу; перехід до 11-вої бази (зміна на у рівнянні) робить наведене вище значення більшим від одиниці.
Відносно цієї границі,
,
є вдвічі більшою за десятковий логарифм сталої Леві.
Яскравим прикладом числа, що не проявляє такої поведінки, є золотий переріз — іноді відоме як «найбільш ірраціональне» число — коефіцієнти ланцюгового дробу якого — всі одиниці, найменші можливі в канонічній формі. У середньому йому потрібно приблизно 2,39 коефіцієнтів ланцюгового дробу на кожну десяткову цифру
Джерела