Лема Віталі про покриттях — твердження у комбінаторній геометрії, що широко використовується в теорії міри.

Лема використовується в доведенні теореми Віталі про покриття, але також має самостійний інтерес. Названа на честь італійського математика Джузеппе Віталі.

Формулювання

Скінченна версія Нехай — скінченна множина куль, що містяться в d-вимірному евклідовому просторі Rd (або, в більш загальному випадку, в довільному метричному просторі). Тоді існує підмножина з цих куль, в якій кулі попарно не перетинаються, і виконується

де позначає кулю з тим же центром, що і у , але з втричі більшим радіусом радіусом.

Доведення

Припустимо, що множина куль є непорожньою, тобто n > 0. Нехай буде кулею із найбільшим радіусом. За індукцією, нехай обрано кулі Якщо існують кулі із які не перетинаються із жодною із , то виберемо як таку кулю із найбільшим можливим радіусом. Якщо таких куль немає, то приймаємо m := k і завершуємо процес.

Позначимо і доведемо, що для всіх . Це твердження є очевидним для . В іншому випадку існує деяке для якого Bi перетинає і радіус кулі є не меншим, ніж Bi. З нерівності трикутника тоді випливає, що , що завершує доведення.

Нескінченна версія Нехай — довільна (зліченна або незліченна) множина куль в Rd (або, більш загально, в сепарабельному метричному просторі), для якої

де позначає радіус кулі Bj. Тоді для будь-якого існує зліченна підмножина

куль, що попарно не перетинаються і

Доведення Нехай F позначає сім'ю всіх куль Bj, j ∈ J у твердженні леми про покриття. Нехай необхідна підсім'я G у F позначається також за допомогою

Доведемо більш точне твердження леми. Нехай F є сім'єю невироджених куль у метричному просторі з обмеженим радіусом. Тоді існує підсім'я G така, що кожна куля B у F має непустий перетин із деякою кулею C у G для якої B ⊂ 5 C. Для сепарабельних метричних просторів (наприклад евклідових просторів) до того ж G є не більш, ніж зліченною.

Нехай R є супремумом радіусів куль із F. Розглянемо розбиття F на Fn, n ≥ 0, що складаються із куль B  радіуси яких належать проміжку (2−n−1R, 2−nR]. Можна розглянути послідовність сімей куль Gn, де Gn ⊂ Fn. Спершу позначимо H0 = F0 і G0 деяку максимальну сім'ю куль із H0, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору очевидно, що G0 є не більш, ніж зліченною . Припускаючи, що G0,...,Gn вже визначені, нехай

і нехай Gn+1 є максимальною сім'єю куль із Hn+1, що попарно не перетинаються. Для сепарабельного метричного простору Gn+1 є не більш, ніж зліченною. Тоді підсім'я

із F задовольняє вказане точне твердження леми: G є сім'єю куль, що попарно не перетинаються і кожна куля B ∈ F перетинає кулю C ∈ G для якої B ⊂ 5 C. Справді, нехай B належить Fn. Тоді або B  не належить Hn, звідки n > 0 і B має непустий перетин із G0,...,Gn−1 або B ∈ Hn і з максимальності Gn випливає, що B має непустий перетин із деякою кулею із Gn. У будь-якому випадку B має непустий перетин із кулею C, що належить об'єднанню G0,...,Gn. Радіус кулі C є більшим 2−n−1R, а радіус B не більшим 2−nR, а тому B ⊂ 5 C випливає з нерівності трикутника. Для сепарабельного метричного простору G є зліченною множиною, як зліченне об'єднання зліченних множин.

Зауваження

У доведенні нескінченної версії у означенні Fn замість 2−n можна використати c−n, c > 1. Тоді замість 5 можна використати константу 1 + 2c. Тобто у твердженні леми про покриття можна замість 5 взяти довільну константу більшу 3. У нескінченній версії лема перестає бути вірною, якщо радіуси не є обмеженими: наприклад, це невірно для нескінченної множини куль з цілими додатними радіусами і єдиним центром. У найзагальнішому випадку, для довільного метричного простору, вибір максимальної підмножини куль вимагає деякої форми леми Цорна.

Наслідки

У будь-якому скінченному наборі куль -вимірного евклідового простору, об'єднання яких має об'єм , можна вибрати підмножину куль, що не перетинаються між собою із загальним об'ємом не меншим . Коефіцієнт не є оптимальним і оптимальне значення не є відомими. The optimal constant in Vitali covering lemma

Примітки

Література

. .

. . .