У математиці, смеш-добутком (або ∧-добутком) двох просторів із виділеними точками і називається фактор-простір добутку просторів щодо відношення еквівалентності для всіх і . Смеш-добуток є простором із виділеною точкою, якою є клас еквівалентності . Смеш-добуток зазвичай позначається або ⨳. Смеш-добуток залежить від вибору виділених точок (якщо і не є однорідними просторами).
Смеш-добуток найчастіше використовується у теорії гомотопії. Оскільки в теорії гомотопії часто розглядаються інші категорії окрім категорії усіх топологічних просторів іноді використовуються модифікації в означенні смеш-добутку. Наприклад, смеш-добуток двох CW-комплексів є CW комплекс лише якщо в означенні замість звичайного добутку топологічних просторів використовується добуток CW комплексів.
Означення Еквівалентно означення смеш-добутку можна дати за допомогою букету просторів.
Простори і можна ідентифікувати із підпросторами , а саме і . Ці підпростори перетинаються в єдиній точці: , яка є виділеною точкою у . Об'єднання цих підпросторів можна ідентифікувати із букетом просторів X ∨ Y. Ідентифікація породжується двома неперервними відображеннями: , . Відображення відправляють виділені точки просторів і у виділену точку і тому індукують відображення Це відображення є гомеоморфізмом.
Тоді еквівалентно можна дати означення смеш-добутку як фактор-простору
Якщо і є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками і стандартний тензорний добуток функцій, то Тому можна дати означення смеш-добутку функцій між просторами із виділеними точками: якщо є класом еквівалентності у то
Властивості
Смеш-добуток будь-якого простору із виділеною точкою X із 0-сферою (яка є дискретним простором із двома точками) є гомеоморфним простору X. Якщо , а також є неперервними відображеннями між просторами із виділеними точками то Якщо є гомотопними між собою і теж є гомотопними, то і відображення і є гомотопними. Також є гомеоморфізмом, якщо гомеоморфізмами є і Для будь-яких трьох просторів із виділеними точками простори і є гомеоморфними. Якщо додатково є компактними просторами і є гаусдорфовим або є компактними просторами і є гаусдорфовим то також Натомість для категорії усіх топологічних просторів з виділеними точками, остання властивість не виконується. Як контрприклад можна розглянути і . (p. 336) Категорії просторів із виділеними точками (наприклад компактно породжені простори) у яких існують натуральні (із збереженням виділених точок) гомеоморфізми
є симетричною моноїдальними категоріями де смеш-добуток є моноїдальним добутком, а 0-сфера є одиничним об'єктом. Смеш-добуток можна розглядати як тензорний добуток у відповідній категорії просторів з виділенимими точками.
Приклади
Смеш-добуток двох кіл є фактор-простором тора гомеоморфним 2-сфері. Смеш-добуток двох сфер і є гомеоморфним сфері . Якщо позначити одиничну кулю відповідної розмірності, то є гомеоморфною . Також існує гомеоморфізм між парами просторів і і тому фактор-простір є гомеоморфним фактор-простору . Розглянемо тепер композицію відображення де оба відображення є очевидними відображеннями на фактор-простори. Ця композиція є відображенням простору на фактор-простір по підпростору Образ цього підпростору є виділеною точкою у . Тому є гомеоморфним . Разом з попереднім звідси випливає, що є гомеоморфним . І остаточно звідси одержується гомеоморфізм і . Смеш-добуток простору із колом є гомеоморфним редукованій надбудові : . Аналогічно із редукованою надбудовою за допомогою смеш-добутку можна дати означення редукованого конуса: для простору редукованим конусом називається смеш-добуток , де позначає одиничний відрізок . Редукований конус є стягуваним простором. -разове застосування редукованої надбудови до простору приводить до простору гомеоморфного смеш-добутку і k-сфери .
Відношення спряження Аналогію між тензорним добутком і смеш-добутком можна більш точно описати за допомогою спряжених функторів. У категорії модулів над комутативним кільцем , функтор тензорного добутку є лівим спряженим до функтора Hom тобто:
.
У категорії просторів із виділеними точками, смеш-добуток відіграє роль тензорного добуток у цій формулі. Зокрема, якщо A є локально компактним гаусдорфовим простором, тоді є спряження:
.
де позначає неперервні відображення, що відображають виділену точку у виділену точку і на задана компактно-відкрита топологія.
Зокрема, якщо є одиничне коло , то функтор надбудови є лівим спряженим до функтора простору петель :
.
Примітки
Див. також Букет просторів Надбудова (топологія) Тензорний добуток
Література