Задача Кеплера загалом є задачею відшукання руху двох сферично-симетричних тіл, що взаємодіють гравітаційно. В класичній теорії тяжіння розв'язок цієї проблеми знайшов сам Ісаак Ньютон: виявилося, що тіла будуть рухатися по конічних перетинах, залежно від початкових умов — по еліпсах, параболах або гіперболах. У рамках загальної теорії відносності (ЗТВ) з пуристичної точки зору ця задача видається погано поставленою, оскільки модель абсолютно твердого тіла неможлива в релятивістській фізиці (див. Парадокс Белла, Твердість за Борном), а не абсолютно тверді тіла не будуть під час взаємодії сферично-симетричними. Інший підхід включає перехід до точкових тіл, правомірний в ньютонівській фізиці, але викликає проблеми в ЗТВ. Крім цього, крім положень і швидкостей тіл необхідно задати також і початкове гравітаційне поле (метрику) у всьому просторі — проблема початкових умов у ЗТВ. В силу зазначених причин точного аналітичного розв'язку задачі Кеплера в ЗТВ не існує (аналогічно задачі трьох тіл в ньютонівській теорії тяжіння), але є комплекс методів, що дозволяють розрахувати поведінку тіл у рамках цієї задачі з необхідною точністю: наближення пробного тіла, постньютонівський формалізм, чисельна відносність.

Історичний контекст

1859 року французький астроном, директор Паризької обсерваторії Урбен Левер'є виявив, що прецесія орбіти Меркурія, визначена зі спостережень, не зовсім збігається з теоретично передбаченою — перигелій орбіти рухається трохи швидше, ніж випливає з теорії Ньютона після урахування всіх міжпланетних збурень. Ефект був малим — 38" на століття, але значно перевищував похибки вимірювань — приблизно 1". Значення відкриття було великим і багато фізиків, астрономи і небесні механіки XIX століття займалися цим питанням. Запропоновано безліч рішень у рамках класичної фізики, найвідомішими були: наявність невидимої хмари міжпланетного пилу поблизу Сонця, сплюснутістю (квадрупольний момент) Сонця, незнайдений супутник Меркурія або нова, ближча до Сонця, планета ВулканPais 1982Марі-Антуанетт Тоннела ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА И ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ МОСКВА: ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ, 1962. Глава II, § 1.2.. Оскільки жодне з цих пояснень не витримало перевірки спостереженнями, деякі фізики почали висувати радикальніші гіпотези, що необхідно змінювати сам закон тяжіння, наприклад, міняти в ньому показник степеня або додавати в потенціал члени, залежні від швидкості тілА. Ф. Богородский Всемирное тяготение Киев: Наукова думка, 1971. Глава 2..

Однак більшість таких спроб виявилися суперечливими. У працях з небесної механікиP. S. Laplace Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805. Лаплас показав, що якщо гравітаційна взаємодія між двома тілами не діє миттєво (що еквівалентно введенню потенціалу, який залежить від швидкостей), то в системі рухомих планет не буде зберігатися імпульс — частина імпульсу буде передаватися гравітаційному полю, аналогічно тому, як це відбувається за електромагнітної взаємодії зарядів в електродинаміці. З ньютонової точки зору, якщо гравітаційний вплив передається зі скінченною швидкістю і не залежить від швидкостей тіл, то всі точки планети мають притягатися до точки, де Сонце було дещо раніше, а не до теперішнього його розташування. На цій підставі Лаплас показав, що ексцентриситет і великі півосі орбіт у задачі Кеплера зі скінченною швидкістю гравітації повинні рости з часом — зазнавати вікових змін. З верхніх меж на зміни цих величин, що випливають зі стійкості Сонячної системи і руху Місяця, Лаплас показав, що швидкість поширення гравітаційної ньютонової взаємодії не може бути нижчою від швидкостей світла.Чи передається тяжіння від одного тіла до іншого миттєво? Час передавання, якби він був для нас помітним, виявився б переважно віковим прискоренням у русі Місяця. Я пропонував цей засіб для пояснення прискорення, поміченого в згаданому русі, і знайшов, що для задоволення спостереженнями слід приписати притягальній силі швидкість у сім мільйонів разів більшу, ніж швидкість світлового променя. А оскільки нині причина вікового рівняння — Місяця добре відома, то ми можемо стверджувати, що тяжіння передається зі швидкістю, що принаймні в п'ятдесят мільйонів разів перевищує швидкість світла. Тому, не побоюючись будь-якої помітної похибки, ми можемо вважати передавання тяжіння миттєвим. Метод Лапласа коректний для прямих узагальнень ньютонової гравітації, але може бути не застосовним до складніших моделей. Так, наприклад, в електродинаміці рухомі заряди притягуються/відштовхуються не від видимих положень інших зарядів, а від положень, які вони займали б у даний час, якби рухалися від видимих положень рівномірно і прямолінійно — це є властивістю потенціалів Ліенара — ВіхертаФейнман разбирает эту проблему в 6 томе Фейнмановских лекций по физике, глава 21, § 1.. Аналогічний розгляд у рамках загальної теорії відносності призводить до такого ж результату з точністю до членів порядку А. Ф. Богородский Ibid. Глава 5, параграф 15..

У спробах уникнути викладених проблем між 1870 і 1900 роками багато вчених намагалися використовувати закони гравітаційної взаємодії, засновані на електродинамічних потенціалах Вебера, Гаусса, Рімана і Максвелла. У 1890 році Леві вдалося отримати стабільні орбіти і потрібну величину зсуву перигелію шляхом комбінації законів Вебера і Рімана. Іншу успішну спробу зробив П. Гербер у 1898 році. Проте, оскільки вихідні електродинамічні потенціали виявилися неправильними (наприклад, закон Вебера не ввійшов до остаточної теорії електромагнетизму Максвелла), ці гіпотези відкинули як довільні. Деякі інші спроби, такі як теорія Г. Лоренца (1900 рік), які вже використовували теорію Максвелла, давали занадто малу прецесію.

Близько 1904—1905 років роботи Г. Лоренца, А. Пуанкаре і А. Ейнштейна заклали фундамент спеціальної теорії відносності, виключивши можливість поширення будь-яких взаємодій швидше, ніж зі швидкістю світла. Таким чином, постало завдання замінити ньютонівський закон гравітації іншим, сумісним з принципом відносності, але таким, що дає за малих швидкостей і гравітаційних полів майже ньютонівські ефекти. Такі спроби зробив А. Пуанкаре (1905 і 1906), Г. Мінковський (1908) і А. Зоммерфельд (1910). Однак усі розглянуті моделі давали занадто малу величину зсуву перигелію.

1907 року Ейнштейн прийшов до висновку, що для опису гравітаційного поля необхідно узагальнити тодішню теорію відносності, зараз звану спеціальною. Від 1907 до 1915 року Ейнштейн послідовно йшов до нової теорії, використовуючи як дороговказ свій принцип відносності. Згідно з цим принципом однорідне гравітаційне поле діє однаково на всю матерію і, отже, не може бути знайдене спостерігачем, який вільно падає. Відповідно, всі локальні гравітаційні ефекти є відтворюваними в системі відліку, що рухається з прискореням, і навпаки. Тому гравітація діє як сила інерції, що виникає через прискорення системи відліку, — така як відцентрова сила або сила Коріоліса; подібно до всіх цих сил гравітаційна сила пропорційна інертній масі. Наслідком цієї обставини є те, що в різних точках простору-часу інерціальні системи відліку мають прискорення одна відносно іншої. Це можливо описати, тільки якщо пожертвувати класичним припущенням про те, що наш простір описується евклідовою геометрією, і перейти до викривленого простору ріманової геометрії. Більше того, викривленим виявляється зв'язок простору і часу, який і проявляється як сила гравітації за звичайних умовНьютоновскую теорию тяготения можно сформулировать как искривление этой связи, см. Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1977. Том 1. Глава 12.. Після восьми років роботи (1907—1915) Ейнштейн знайшов закон, який показує, як простір-час викривляється наявною в ньому матерією — рівняння Ейнштейна. Гравітація відрізняється від сил інерції тим, що викликається кривиною простору-часу, яку можна виміряти інваріантно. Перші ж розв'язки отриманих рівнянь, знайдені Ейнштейном (наближено) і Шварцшильдом (точно), пояснили аномальну прецесію Меркурія і передбачили подвоєну величину відхилення світла порівняно з попередніми евристичними оцінками. Це пророцтво теорії підтвердили в 1919 році англійські астрономи.

Наближення пробного тіла

В цьому підході вважається, що маса одного тіла m знехтовно мала порівняно з масою другого M; це непогане наближення навіть для планет, що обертаються навколо Сонця, і практично ідеальне для космічних апаратів. У такому випадку можна вважати, що перше тіло є пробним, тобто воно не вносить збурень у гравітаційне поле другого тіла, а лише рухається по геодезичних лініях сформованого другим тілом простору-часу. Оскільки зазвичай задача двох тіл розглядається в масштабах, значно менших від космологічних, то впливом лямбда-члена на метрику можна знехтувати і гравітаційне поле будь-якого сферично-симетричного тіла буде даватися розв'язком Шварцшильда. Рух легкого тіла, званого далі частинкою, таким чином відбувається по геодезичних лініях простору Шварцшильда, якщо знехтувати припливними силами і реакцією гравітаційного випромінювання.

Саме в цьому наближенні Ейнштейн вперше обчислив аномальну прецесію перигелію Меркурія, що стало першим підтвердженням загальної теорії відносності й розв'язало одну з найвідоміших на той момент проблем небесної механіки. Це ж наближення досить точно описує відхилення світла, інше знамените явище, передбачене загальною теорією відносності. Разом з тим його не достатньо для опису процесу релятивістського скорочення орбіт через гравітаційне випромінювання.

Геометричний вступ У звичайній евклідовій геометрії виконується теорема Піфагора, яка стверджує, що квадрат відстані ds2 між двома нескінченно близькими точками простору дорівнює сумі квадратів диференціалів координат

де dx, dy і dz — нескінченно малі різниці між координатами точок по осях x, y і z декартової системи координат. Тепер уявімо собі світ, в якому це вже неправильно, а відстані задаються співвідношенням

де F, G і H — деякі функції положення. Це неважко уявити, оскільки ми живемо в такому світі: поверхня Землі зігнута, так що її не можна без спотворень подати на плоскій карті. Недекартові координатні системи також можуть бути прикладом: у сферичних координатах (r, θ, φ) евклідова відстань записується як

Нарешті, в загальному випадку ми маємо допустити, що лінійки можуть змінювати свою координатну довжину не тільки під час зміни положення, але й при поворотах. Це призводить до появи перехресних членів у виразі для довжини

де 6 функцій gxx, gxy і так далі перетворюються при зміні координат як компоненти тензора, званого метричним (або просто метрикою), який визначає всі характеристики простору в цій узагальненій рімановій геометрії. У сферичних координатах, наприклад, у метриці немає перехресних членів, а єдині її ненульові компоненти — це grr = 1, gθθ = r2 і gφφ = r2 sin2 θ.

Зазначимо окремо, що після задання метричного тензора в якійсь системі координат вся геометрія ріманового простору виявляється жорстко заданою, і не змінюється при перетвореннях координат. Простіше кажучи, координати — це довільні числа, які лише вказують на точку простору, а відстань, виміряна фізичною лінійкою між двома зафіксованими точками, не залежить від того, які координати ми присвоюємо їм — є інваріантом при зміні координатних сіток.

У спеціальній теорії відносності Альберт Ейнштейн показав, що відстань ds між двома точками в просторі не є інваріантом, а залежить від руху спостерігача. Ця відстань виявляється проєкцією на одночасний простір істинно інваріантної величини — інтервалу, що не залежить від руху спостерігача, але включає крім просторових також і часову координату точок простору-часу, званих при цьому подіями

Аналогічно можна переписати інтервал у сферичних координатах

Ця формула являє собою природне узагальнення теореми Піфагора і справедлива за відсутності кривини простору-часу. У загальній же теорії відносності простір-час викривлено, так що «відстань» виражається загальною формулою