Нетранзитивність у математиці — позначення ряду схожих властивостей бінарних відношень.
Відсутність транзитивності Відношення називається транзитивним, якщо для будь-яких трійок A, B і C, таких, що пари (A, B) і (B, C) задовольняють йому, пара (A, C) також йому задовольняє. Низка авторів називають нетранзитивними відношення, що не задовольняють цій властивості, тобто відношення R, такі, що
Наприклад, відношення «їсти» в харчовому ланцюгу є нетранзитивним у цьому сенсі: вовки їдять оленів, олені їдять траву, але вовки не їдять траву.
Антитранзитивність Часто термін нетранзитивність використовують для позначення «сильнішої» властивості — антитранзитивності відношенняGuide to Logic, Relations II . Відношення R називається антитранзитивним, якщо транзитивність відсутня для будь-яких трьох елементів:
Наприклад, згадане вище відношення «їсти» не є антитранзитивним: люди їдять кроликів, кролики їдять моркву, але люди теж їдять моркву.
Антитранзитивне відношення — відношення «перемогти» в турнірах «на виліт»: Якщо A переміг гравця B, а B переміг гравця C, то A не грав з C, отже, не міг його перемогти.
Цикли в бінарних відношеннях На практиці термін нетранзитивність найчастіше вживається для опису ситуацій, коли відношення описують уподобання на парах альтернатив, порівняння яких призводить до наявності циклів: A краще ніж B, B краще ніж C, а C краще ніж A.
Відомим прикладом наявності циклів є дитяча гра «Камінь, ножиці, папір». Інші приклади — нетранзитивні кості (кубики ЕфронаМатематическое просвещение. Третья серия, выпуск 14. Издательство МЦНМО, 2010), «Гра Пенні».
Якщо відношення уподобання антирефлексивне, наявність циклів у вподобаннях призводить до порушення транзитивності. Ця властивість не еквівалентна зазначеним вище відсутності транзитивності і антитранзитивності відношення.
Виникнення нетранзитивності уподобань Нетранзитивність суспільних уподобань може виникати під час голосування за правилом більшості, а також за правилом Кондорсе (див. парадокс Кондорсе)Александр Поддьяков Правило транзитивности против нетранзитивности выбора // Наука и жизнь. — 2017. — № 3. — С. 130—137Александр Поддьяков Нетранзитивность превосходства: продолжение темы // Наука и жизнь. — 2017. — № 7. — С. 112—116. У психології нетранзитивність уподобань виникає, якщо індивідуум керується декількома неузгодженими системами цінностей. Аналогічним чином, нетранзитивність може виникати у споживчих уподобаннях, що призводить до відхилення поведінки споживача від економічно раціональної.
Див. також Транзитивне відношення Відношення уподобання
Примітки
Література Anand P. Foundations of Rational Choice Under Risk, Oxford, Oxford University Press. — 1993.