У математиці K-функція, зазвичай позначається як , — узагальнення функції гіперфакторіала для комплексних чисел подібно до гамма-функції як узагальнення функції факторіала для комплексних чисел.
Означення Формально K-функція визначається так
Також можна записати її у простішій формі:
де — похідні дзета-функції Рімана, — дзета-функція Гурвіца і
Інша форма запису через полігамма-функціюVictor S. Adamchik. PolyGamma Functions of Negative Order:
Або, використовуючи Olivier Espinosa Victor Hugo Moll. A Generalized polygamma function. Integral Transforms and Special Functions Vol. 15, No. 2, April 2004, pp. 101–115, можна сказати, що
де — стала Глейшера.
Властивості Нехай . Тоді
Нехай
Диференціюючи цю рівність по , отримаємо
За означенням K-функції можна записати
Також
Покладемо . Тоді отримаємо
Тепер можна зробити висновок про рівність, наведену вище.
K-функція тісно пов'язана з гамма-функцією та : для натуральних маємо
Можна записати цю рівність більш просто
Значення функції при натуральних аргументах: ( ).
Література