Теорема Кіршбрауна про продовження (іноді називають теоремою Валентайна) — теорема про існування продовження ліпшицевої функції, визначеної на підмножині евклідового простору, на весь простір.
Формулювання Нехай — довільна підмножина евклідового простору , тоді довільне коротке відображення можна продовжити до короткого відображення ; інакше кажучи, існує коротке відображення таке, що .
Варіації та узагальнення
Природно узагальнюється на: відображення з підмоножини гільбертового простору в гільбертів простір; відображення з підмоножини гіперболічного простору у гіперболічний простір тієї ж кривини Аналогічний результат для відображення між сферами хибний, проте теорема залишається істинною для: відображення з підмоножини сфери в півсферу тієї ж кривини; відображення з підмоножини сфери у сферу тієї ж кривини не меншої розмірності. Аналогічний результат для банахових просторів є хибним.
Метрична геометрія
Узагальнення теореми Кіршбрауна на метричні простори дали Ленг та ШредерLang, U.; Schroeder, V. Kirszbraun's theorem and metric spaces of bounded curvature. Geom. Funct. Anal. 7 (1997), no. 3, 535—560.Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali; Petrunin, Anton Alexandrov meets Kirszbraun. Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference 2010, 88–109, Int. Press, Somerville, MA, 2011.. Будь-яке коротке відображення на підмножині довільного метричного простору зі значеннями в ін'єктивному просторі допускає коротке продовження на весь простір. Це дає інше узагальнення теореми на метричні простори. До ін'єктивних просторів належать дійсні прямі та метричні дерева, а також -простори. Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо — метричний простір із властивістю подвоєння та і — банахів простір, то будь-яке -ліпшицеве відображення продовжується до -ліпшицевого відображення , де стала залежить лише від параметра у властивості подвоєння4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015..
Історія Доведено в дисертації Мойжеша Кіршбрауна (захищено 1930)M. D. Kirszbraun. Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math., (22):77-108, 1934.. Пізніше цю теорему передовів Фредерік ВалентайнF. A. Valentine, "On the extension of a vector function so as to preserve a Lipschitz condition, "Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 49, pp. 100—108, 1943..
Див. також Теорема Тітце про продовження
Примітки