Властивість подвоєння — умова, що накладається на міри, визначені на метричних просторах, а також самі метричні простори.
Визначення
Міри Нагадаємо, що в довільному метричному просторі позначає кулю з центром та радіусом .
Ненульова міра на метричному просторі задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала така, що
для всіх і .
Метричні простори Метричний простір задовольняє властивості подвоєння, якщо існує стала , така, що будь-яку кулю радіуса у можна покрити кулями радіуса .
Зауваження Іноді розглядають слабший варіант властивості подвоєння, за якого потрібно, щоб радіус не перевищував деякого додатного сталого .
Властивості Будь-який метричний простір із мірою, що задовольняє властивості подвоєння, сам задовольняє властивості подвоєння. І навпаки, на будь-якому повному метричному просторі з властивістю подвоєння існує міра з властивістю подвоєння. (Теорема Асада) Нехай метричний простір задовольняє властивості подвоєння, тоді для будь-кого , простір допускає біліпшицеве вкладення в евклідів простір досить високої розмірності. Для метричних просторів із властивістю подвоєння виконується слабкий варіант теореми Кіршбрауна. А саме, якщо — метричний простір із властивістю подвоєння та і — банахів простір, то будь-яке -ліпшицеве відображення продовжується до -ліпшицевого відображення , де стала залежить лише від параметра у властивості подвоєння4.1.21 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015..
Приклади Міра Лебега в евклідовому просторі задовольняє якості подвоєння. Стала дорівнює , де позначає розмірність.
Примітки