Чотирипелюсткова троянда (також правильний чотирилисник або квадрифолій на сайті Mathcurve.com, чотирилисник конюшиниC G Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves, An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, Cambridge, 2001, . Pages 92 and 93) — плоска алгебрична крива 6-го порядку, троянда з чотирма пелюстками.
Є окремим випадком сімейства синусоїдальних спіралей, а також епі- та гіпотрохоїд.
Рівняння +РівнянняВ полярній системі координат . .В декартовій системі координат в неявному виді . .В декартовій стстемі координат в параметричному виді . ; Також:Початок координат (полюс) — чотирикратна вузлова точка; Вершини пелюсток знаходяться на осях координат.Початок координат (полюс) — чотирикратна вузлова точка; Вершини пелюсток знаходяться на прямих (на прямих та ). У будь-якій формі це плоска алгебрична крива роду нуль.
Метричні характеристики Нехай троянда задана в системі координат одним з рівнянь попереднього розділу. Тоді: Довжина дуги (периметр) троянди: на сайті MathWorld
де — повний еліптичний інтеграл другого роду.Послідовність в OEIS.
Довжина довільної дуги чотирипелюсткової троянди, що відповідає параметру t:
де — неповний еліптичний інтеграл другого роду. Площа области, що обмежена чотирипелюстковою трояндою:
Ця площа дорівнює половині площі описаного навколо троянди круга.
Площа области, що обмежена однією пелюсткою троянди дорівнює . Кривина чотирипелюсткової троянди в довільній точці, що відповідає параметру t : .
Властивості та особливості форми Вся крива розташовується всередині кола радіуса і складається з чотирьох однакових за формою та розміром пелюсток. Вершини пелюсток є вершинами квадрата. Чотирипелюсткова троянда є алгебричною раціональною кривою 4-го порядку роду 0.Quadrifolium на сайті people.math.carleton.ca Крива має 4 осі симетрії, дві з яких проходять через протилежні вершини пелюсток. Зокрема, рівняння осей симетрії для косинус-варіанта кривої:
Полюс кривої (початок координат) є центром симетрії кривої. Прямі є дотичними у вузловій точці троянди (для косинус-варіанта кривої). Чотирипелюсткова троянда є гіпотрохоїдою, у якої радіус нерухомого кола дорівнює , радіус твірного (рухомого) кола дорівнює , а відстань від твірної точки до центра рухомого кола дорівнює .
Чотирипелюсткова троянда є епітрохоїдою при та .
Чотирипелюсткова троянда є подерою астроїди відносно її центра. Для астроїди , де — кут повороту твірного (рухомого) кола; — радіус напрямного (нерухомого) кола. рівняння подери відносно її центру (початку координат) буде:
або
Ця троянда є вписаною в коло, яке вписане в астроїду. Вершини троянди збігаються з вершинами астроїди. Чотирипелюсткова троянда є геометричним місцем підстав перпендикулярів, що проведені від початку координат до відрізку сталої довжини, кінці якого ковзають по координатним осям. Чотирипелюсткова троянда є геометричним місцем вершин прямих кутів, сторони яких дотикаються до астроїди. Чотирипелюсткова троянда є результатом інверсії відносно початку координат хрестоподібної кривої, що має рівняння
або
Дуальною до чотирипелюсткової троянди є крива з рівнянням в декартовій системі координат:
Кінематичне та механічне утворення чотирипелюсткової троянди Нехай два рівних відрізка та довжиною обертаються навколо точок та зі швидкостями, відношення яких дорівнює . Тоді траєкторією точки буде чотирипелюсткова троянда. Нехай два радіуси та деякого кола обертаються навколо точки зі швидкостями, відношення яких дорівнює . Тоді, геометричним місцем підстав перпендикулярів, проведених з точки на є чотирипелюсткова троянда.
Див. також
Троянда (плоска крива) Трипелюсткова троянда
Примітки
Література
Посилання
Ferréol Robert, QUATREFOIL CURVE, на сайті MATHCURVE.COM, 2017 Jan Wassenaar, Rhodonea, на сайті www.2dcurves.com. Quadrifolium на сайті people.math.carleton.ca Аплет для створення троянд з параметром k Інтерактивний приклад із JSXGraph