+Графи шести {3,3,3} {3,3,4} {4,3,3}П'ятикомірник4-симплексШістнадцятикомірникОртоплекс4-ортоплексТесеракт4-куб {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}ОктаплексДвадцятичотирьохкомірникДодекаплексСтодвадцятикомірникТетраплексШестисоткомірник 4-політоп або чотиривимірний політоп — політоп у чотиривимірному просторі. Зв'язана замкнута фігура, що складається з політопів меншої розмірності — вершин, ребер, граней (многокутників) та комірок (тривимірних многогранників). Кожна грань належить рівно двом коміркам.
Двовимірним відповідником 4-політопа є многокутник, а тривимірним — тривимірний многогранник.
Топологічно 4-політопи тісно пов'язані з , такими як кубічний стільник, що замощує тривимірний простір. Подібно тривимірний куб пов'язаний із нескінченним двовимірним квадратним паркетом. Опуклі 4-політопи можна розрізати та розгорнути у вигляді розгорток у тривимірному просторі.
Визначення 4-політоп є замкнутою чотиривимірною фігурою. Він складається з вершин (кутових точок), ребер, граней і комірок. Комірка — тривимірний відповідник грані і є тривимірним многогранником. Кожна двовимірна грань повинна з'єднувати рівно дві комірки, аналогічно тому, як ребро тривимірного многогранника з'єднує рівно дві грані. Подібно до інших політопів, елементи 4-політопа не можна розділити на дві або більше множин, які також є 4-політопами, тобто він не є складеним.
Найвідомішим 4-політопом є тесеракт (гіперкуб), чотиривимірний відповідник куба.
Візуалізація +Приклади подання двадцятичотирьохкомірників Зріз Розгортка Проєкції Шлегель 2D ортогональна 3D ортогональна 4-політопи неможливо уявити в тривимірному просторі через зайву розмірність. Для візуалізації використовують низку технік.
Ортогональна проєкція
Ортогональні проєкції можна використовувати для показу різних симетрій 4-політопа. Проєкції можна подати у вигляді двовимірних графів, а можна — у вигляді тривимірних тіл як .
Перспективна проєкція
Так само, як тривимірні фігури можна спроєктувати на плоский аркуш, чотиривимірні фігури можна спроєктувати в тривимірний простір або навіть на площину. Найпоширенішим видом проєкції є діаграма Шлегеля, що використовує стереографічну проєкцію точок на поверхню 3-сфери в тривимірному просторі, з'єднаних у тривимірному просторі прямими ребрами, гранями та комірками.
Зріз
Так само, як розріз многогранника виявляє поверхню розрізу, зріз 4-політопа дає «гіперповерхню» в тривимірному просторі. Послідовність таких зрізів можна використати для розуміння будови всієї фігури. Зайву розмірність можна прирівняти до часу для утворення анімації цих перерізів.
Розгортки
Розгортка 4-політопа складається зі многогранних комірок, з'єднаних гранями і розташованих у тривимірному просторі, так само, як многокутні грані розгортки тривимірного многогранника з'єднані ребрами і розташовуються всі в одній площині.
Топологічні характеристики
Топологія будь-якого заданого 4-політопа визначається його числами Бетті та коефіцієнтами закрутуRicheson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy, Princeton, 2008..
Значення ейлерової характеристики, що використовується для характеристики многогранників, не узагальнюється належним чином на вищі розмірності і дорівнює нулю для всіх 4-політопів, якою б не була нижча топологія. Ця невідповідність ейлерової характеристики для достеменного розрізнення топологій у високих розмірностях веде до появи більш витончених чисел Бетті.
Подібно, поняття орієнтованості многогранника недостатньо для характеристики закруту поверхонь тороїдальних многогранників, що приводить до використання коефіцієнтів закруту.
Класифікація
Критерії 4-політопи можна класифікувати за властивостями, такими як «опуклість» і «симетрія».
4-політоп є опуклим, якщо його межі (включно з комірками, (тривимірними) гранями та ребрами) не перетинають себе (в принципі, грані політопа можуть проходити всередині оболонки) і відрізки, що з'єднують будь-які дві точки 4-політопа, містяться повністю всередині нього. В іншому випадку політоп вважають неопуклим. 4-політопи, що самоперетинаються, відомі також як зірчасті політопи за аналогією зі схожими на зірки формами неопуклих многогранників Кеплера — Пуансо. 4-політоп є правильним, якщо він транзитивний відносно його прапорів. Це означає, що всі його комірки є конгруентними правильними многогранниками, а також його вершинні фігури конгруентні іншому виду правильних многогранників. Опуклий 4-політоп є напівправильним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні (вершинно-транзитивні) і комірки є правильними многогранниками. Комірки можуть бути двох і більше видів, за умови, що вони мають один і той же вид граней. Існує лише 3 таких фігури, які 1900 року знайшов : всезрізаний п'ятикомірник, і кирпатий двадцятичотирьохкомірник. 4-політоп є однорідним, якщо він має групу симетрії, за якої всі вершини еквівалентні та комірки є однорідними многогранниками. Грані (2-вимірні) однорідного 4-політопа повинні бути правильними многокутниками. 4-політоп є В англійській мові використано слово scaliform, утворене від двох слів — scale (багатозначне слово, тут — розмір, шкала) і uniform (однорідний). Назву запропонував Джонатан Боуерс (Jonathan Bowers), якщо він вершинно-транзитивний і має ребра однієї довжини. Тобто дозволяються неоднорідні комірки, наприклад, опуклі многогранники Джонсона. Про правильний 4-політоп, що є до того ж опуклим, кажуть як про . 4-політоп є призматичним, якщо він являє собою прямий добуток двох і більше многогранників меншої розмірності. Призматичний 4-політоп є однорідним, якщо його співмножники у прямому добутку однорідні. Гіперкуб є призматичним (добуток двох квадратів або куба і відрізка), але розглядається окремо, оскільки він має вищу симетрію, ніж симетрії, успадковані від співмножників. Мозаїка або стільники в тривимірному просторі — це розклади тривимірного евклідового простору на повторювану многогранних комірок. Такі мозаїки або замощення нескінченні і не обмежені «4D»-об'ємом, тому є прикладами нескінченних 4-політопів. Однорідна мозаїка тривимірного простору — це мозаїка, в якій вершини конгруентні і пов'язані кристалографічною групою, а комірки є однорідними многогранниками.
Класи Наведемо список різних категорій 4-політопів, класифікований згідно з викладеними вище критеріями:
(вершинно-транзитивний).
Опуклі однорідні 4-політопи (64 + два нескінченних сімейства) 47 непризматичних опуклих однорідних 4-політопи включають: 6 правильних 4-політопів. : {} × {p, q} : 18 (включно з кубічними гіперпризмами, правильними гіперкубами); Призми, побудовані на антипризмах (нескінченне сімейство); {p} × {q} : (нескінченне сімейство) Неопуклі однорідні 4-політопи (10 + невідомо): 10 (правильних) ; 57 гіперпризм, побудованих на неопуклих однорідних многогранниках; Невідома кількість неопуклих однорідних 4-політопів — та інші співавтори знайшли 1849 многогранників (опуклих і зірчастих); усі вони побудовані на вершинних фігурах за допомогою програми Uniform Polychora, Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 cases in 2005.
Інші опуклі 4-політопи:
.
Нескінченні однорідні 4-політопи в евклідовому 3-вимірному просторі (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):
28 (однорідних опуклих замощень), зокрема: 1 правильне замощення, : {4,3,4}.
Нескінченні однорідні 4-політопи гіперболічного тривимірного простору (однорідні замощення опуклими однорідними комірками):
76 вітгофових , зокрема: : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}.
Двоїсті ():
41 унікальний двоїстий однорідний 4-політоп; 17 унікальних двоїстих однорідних многогранних призм; нескінченне сімейство двоїстих опуклих однорідних дуопризм (з неправильними тетраедричними комірками); 27 унікальних двоїстих однорідних стільників, зокрема: Ромбододекаедричний стільник ; .
Інші:
Структура Вейра — Фелана періодичного стільника з неправильними комірками, що заповнює простір.
Абстрактні правильні 4-політопи:
Одинадцятикомірник П'ятдесятисемикомірник
Ці категорії включають лише 4-політопи з високим ступенем симетрії. Можливе існування багатьох інших 4-політопів, але їх не вивчали настільки інтенсивно, як перелічені вище.
Див. також
Правильний 4-політоп 3-сфера — інша широко обговорювана фігура, в чотиривимірному просторі. Але вона не є 4-політопом, оскільки не обмежена многогранними комірками. — фігура в чотиривимірному просторі, пов'язана з дуопризмами, хоча це не многогранник. Кубічна піраміда Ікосаедрична піраміда
Примітки
Література
H.S.M. Coxeter: H. S. M. Coxeter, M. S. Longuet-Higgins, J. C. P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
(Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380—407, MR 2,10] (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559—591] (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Four-dimensional Archimedean Polytopes (German), Marco Möller, 2004 PhD dissertation
Посилання
Four dimensional figures page Polychoron на Glossary for Hyperspace Uniform Polychora, Jonathan Bowers Uniform polychoron Viewer — Java3D Applet with sources Dr. R. Klitzing, polychora