Cecha podzielności – metoda sprawdzania, czy dana liczba naturalna jest podzielna przez inną bez reszty.

Cechy podzielności (określane dla różnych, poszczególnych dzielników naturalnych) pozwalają sprawdzić czynniki każdej danej dzielonej liczby (nazywanej także w takim przypadku: dzielną), bez konieczności ręcznego wykonywania odpowiedniego dzielenia za pomocą jedną z dłuższych standardowych metod, np. za pomocą tak zwanego dzielenia pisemnego.

Cechy podzielności Uwaga. Niżej opisano tylko cechy podzielności w dziesiętnym systemie liczbowym, choć podobne reguły istnieją też w innych systemach.

Ujednolicona lista wybranych cech podzielności

Liczba całkowita jest podzielna: przez  –  zauważmy w tym miejscu, że jest zawsze dzielnikiem (tzn. liczba ta, jest dzielnikiem dla dokładnie każdej liczby naturalnej), więc mówienie w tym przypadku o jakiejś cesze podzielności dla , jest zupełnie niepotrzebne. przez (jest liczbą parzystą)  –  jeśli ostatnia z jej cyfr reprezentuje liczbę parzystą, czyli jest jedną z cyfr: , , , , . przez  –  jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3 – dzięki temu regułę można stosować rekurencyjnie aż do osiągnięcia liczby jednocyfrowej. Przykład: liczba . Suma jej cyfr, w zapisie dziesiętnym (przedstawionym), to: . Liczba – naturalnie, że – jest podzielna przez , a zatem także i liczba , sama, musi być podzielna przez . przez  –  jeśli liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez . Przykład: liczba . Liczba tworzona przez jej dwie ostatnie cyfry to , zatem sprawdzamy podzielność przez dla : . Dostajemy wynik dzielenia bez reszty (tzn. z zerową resztą), więc liczba jest podzielna przez . Natomiast wśród liczb mniejszych niż (a zatem także: dwucyfrowych – por. przykład sprzed chwili), podzielne przez są w istocie te liczby, w ramach których zachodzi któryś z poniższych wariantów: pierwsza cyfra jest nieparzysta (tzn. jest to jedna z cyfr: , , , lub ); zaś druga w kolejności z nich, to: lub pierwsza cyfra jest parzysta (tzn. jest to jedna z cyfr: , , , lub ); zaś druga w kolejności z nich, to: , lub Faktycznie jednak, nie potrzeba zapamiętywać powyższej reguły podzielności przez , dla liczb mniejszych od , jeśli tylko – zapoznawszy się samemu, uprzednio, z tabliczką mnożenia – jest się samemu od razu w stanie stwierdzić (na sposób: na pamięć) – spoglądając na daną liczbę dwucyfrową – czy jest ona podzielna przez , czy też nie. przez  –  jeśli jej ostatnią cyfrą jest: lub . przez  –  jeśli jest podzielna zarówno przez liczbę , jak i przez liczbę . przez  –  jeśli suma jej cyfr mnożonych (od prawej) przez kolejne potęgi (formalnie: włącznie z potęgą zerową: – choć oczywiście wiadomo, że dokładnie każda liczba naturalna, jest podzielna przez ; więc moglibyśmy powiedzieć także, w miejsce tego: „dla potęg pierwszej, i wyższych”) jest podzielna przez . Przykłady wykorzystania cechy podzielności przez : Liczba  –  Obliczmy najpierw, według powyższego przepisu (w każdym z występujących dalej składników, pierwszym z czynników jest odpowiednia cyfra wskazanej liczby, czyli kolejno: 1, 7, 5 bądź 7):

Dalej, postępując w ten sam sposób, dla uzyskanej powyżej liczby :

Oczywiście, liczba jest podzielna przez – tak więc też i liczba , musi sama być podzielna przez .

Liczba :

1761 : 1·27+7·9+6·3+1·1=109109 : 1·9+0·3+9·1=1818 : 1·3+8·1=1111 : 1·3+1·1=4Liczba 1761 oraz 109, 18, 11 i 4nie dzielą się przez 7. przez , jeśli liczba tworzona przez jej trzy ostatnie cyfry jest podzielna przez . Natomiast owa trzycyfrowa końcówka jest podzielna przez , jeśli składa się z następujących cyfr:

+Cyfra setekCyfra dziesiątekCyfra jedności 0, 2, 4, 6 lub 80, 4 lub 80 lub 81, 5 lub 962, 643, 72 1, 3, 5, 7 lub 90, 4 lub 841, 5 lub 922, 60 lub 83, 76

przez  –  jeśli suma cyfr tej liczby jest podzielna przez . Jeśli wynik sumowania jest wielocyfrowy sumowanie można powtarzać dla wyniku sumowania.

Powyższy przepis – jakim jest cecha podzielności przez – funkcjonuje nie tylko w zapisie dziesiętnym, ale również dla zapisów o innych niż 10 podstawach, jako kryterium podzielności przez liczbę o 1 mniejszą od podstawy. przez 10, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0. przez 11, jeśli po odjęciu od sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych, sumy cyfr stojących na miejscach parzystych otrzyma się liczbę podzielną przez 11. Nie ma znaczenia, czy miejsca parzyste i nieparzyste liczymy od lewej, czy od prawej. Przykład: Liczba 737 → (7+7) – 3 = 14 – 3 = 11 737 jest podzielna przez 11 Przepis ten funkcjonuje nie tylko w zapisie dziesiętnym, ale również dla zapisów o innych niż 10 podstawach, jako kryterium podzielności przez liczbę o 1 większą od podstawy. przez 12, jeśli jest podzielna zarówno przez 3, jak i przez 4. przez 13, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna przez 13, np. dla 85527 mamy 527 – 85 = 442, 442 / 13 = 34, więc liczba 85527 jest podzielna przez 13. przez 14, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 7. przez 15, jeśli jest podzielna zarówno przez 3, jak i przez 5. przez 16, jeśli liczba tworzona przez jej cztery ostatnie cyfry jest podzielna przez 16. przez 18, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 9. przez 20, jeśli jej ostatnia cyfra jest równa 0 a przedostatnia cyfra jest parzysta. przez 21, jeśli jest podzielna zarówno przez 3, jak i przez 7. przez 22, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 11. przez 24, jeśli jest podzielna zarówno przez 3, jak i przez 8. przez 25, jeśli jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75. przez 26, jeśli jest podzielna zarówno przez 2, jak i przez 13. przez 28, jeśli jest podzielna zarówno przez 4, jak i przez 7. przez 30, jeśli suma cyfr jest podzielna przez 3, a zapis dziesiętny liczby kończy się zerem. przez 32, jeśli liczba tworzona przez jej pięć ostatnich cyfr jest podzielna przez 32. przez 50, jeśli jej przedostatnia cyfra to 5 lub 0, a ostatnia to 0. przez 100, jeśli jej ostatnie dwie cyfry to 00. przez 2n, jeśli liczba utworzona z n jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 2n. przez 5n, jeśli liczba utworzona z n jej ostatnich cyfr jest podzielna przez 5n. przez 10n, jeśli n jej ostatnich cyfr jest zerami.

Inne zasady, związane z cechami podzielności

Inna cecha podzielności przez 7, 11 lub 13, oparta na równości

grupujemy cyfry po 3 od końca i każdą taką grupę, poczynając od pierwszej z prawej, oznaczamy przez a1, a2, a3,... Dana liczba dzieli się przez 7, 11, 13 jeśli suma S = a1 – a2 + a3 – ... jest podzielna przez 7, 11, 13. Np. dla liczby x = 111220336444 mamy: 444−336+220−111=217, co dzieli się przez 7, a nie dzieli przez 11 i 13, zatem x dzieli się przez 7, a nie dzieli przez 11 ani przez 13. W ogólności, możemy powiedzieć, że dana liczba naturalna jest podzielna przez , jeśli jednocześnie: 1) ; 2) liczba jest podzielna przez , oraz jest podzielna przez ; 3) oraz liczby i są względem siebie, liczbami względnie pierwszymi (ich największy wspólny dzielnik, to dokładnie . Naturalnie także stwierdzenie odwrotne do przedstawionego, jest prawdziwe (mianowicie, chodzi o następuące stwierdzenie: jeśli liczba naturalna jest podzielna przez , a i są względnie pierwsze, to jest podzielne także przez oraz , poszczególnie). Uwaga. Oba te powyższe stwierdzenia (dla uznania ich własnej prawdziwości) wymagają odpowiednich dla siebie dowodów, których tutaj nie przedstawiamy. Przykład (podzielność przez ): Na podstawie powyższego twierdzenia, jesteśmy w stanie powiedzieć, że: dowolnie wybrana liczba naturalna jest podzielna przez liczbę , jeśli jest ona podzielna przez liczbę oraz przez liczbę . Istotnie, nietrudno sprawdzić, że liczby oraz są względem siebie, względnie pierwsze – tak więc widzimy, że wszystkie założenia odpowiedniego powyższego stwierdzenia, są w istocie spełnione. Przykład (pokazujący, że założenie o względnej pierwszości liczb i , jest istotne – tzn. na pewno nie można go, w sformułowaniu pierwszego z powyżej przedstawionych stwierdzeń, pominąć): Zauważmy jednocześnie, że nie można by (przypuszczalnie) na pewno, posłużyć się („w ogólnym przypadku” – tzn. w ogólnym przypadku wartości liczb , , oraz ) stwierdzeniem (hipotetycznym), w którym pominięto warunek o względnej pierwszości liczb oraz : liczba dzieli się przez , jeśli dzieli się przez oraz . Wskażemy przykład liczb , , oraz , dla których stwierdzenie to, nie mogłoby zostać uznane za prawdziwe. Takimi liczbami są na przykład: . Istotnie, zauważmy, że mamy: ; ale – choć warunki takiego stwierdzenia byłyby spełnione, ponieważ dzieli się zarówno przez , jak i przez ; to jednak liczba – widzimy od razu – że nie dzieli się przez liczbę (co – samo w sobie – można uzasadnić formalnie np. tak, że , zaś i są oczywiście kolejnymi liczbami naturalnymi – tak więc w twierdzeniu o dzieleniu z resztą, nie bylibyśmy w stanie znaleźć żadnego naturalnego ilorazu , tak aby reszta wynosiła: (co (tzn. aby uzyskać taką oto właśnie postać, z ) jest dokładnie warunkiem definicyjnym, wziętym wprost z definicji podzielności)). Liczba jest podzielna przez 2, 5 i 10 jeśli jej ostatnia cyfra to 0

Zasady te można udowodnić, używając kongruencji.

Liczby pierwsze Z twierdzenia, że liczba jest podzielna przez jeśli jest ona podzielna przez i oraz i są względnie pierwsze, wiemy, że aby sprawdzić podzielność liczby, należy sprawdzić podzielność przez każdy z czynników dzielnika, np. podzielność 25116 przez 84 oznacza, że liczba ta powinna dzielić się przez każdą z liczb: 4, 3 i 7 (bo rozkład dzielnika na czynniki pierwsze ma postać: ) W tym kontekście ważne staje się ustalenie cech podzielności dla liczb pierwszych.

Dość ogólną metodę konstruowania takich cech podzielności podaje Stephen Froggatt w serwisie Math Forum. Oto algorytm budowania cechy podzielności dla dowolnej liczby pierwszej p: Szukamy najmniejszej liczby naturalnej dla której jest podzielne przez (inaczej: dla pewnego liczba ) Wówczas, jak łatwo sprawdzić, także dzieli się przez Mamy do wyboru dwa sposoby postępowania: a) od badanej liczby oddzielamy cyfrę jedności, mnożymy przez i dodajemy do pozostałej części liczby albo b) od oddzielamy cyfrę jedności, mnożymy ją przez i odejmujemy od pozostałej części liczby

Jeśli otrzymana (mniejsza) liczba dzieli się przez to i dzieli się przez Jeśli otrzymana liczba jest jeszcze zbyt duża, można to postępowanie stosować wielokrotnie.

Zbudujmy np. cechę podzielności przez 7 (inną, niż opisana powyżej).

Ponieważ 10·5−1=49 dzieli się przez 7, więc m=5 i aby zbadać, czy liczba 25116 dzieli się przez 7 postępujemy następująco: Oddzielamy cyfrę jedności: 6 i obliczamy: 2511+6·5 = 2541. Powtarzamy ten krok jeszcze dwukrotnie:254+1·5 = 259; 25+9·5 = 70, co dzieli się przez 7. Zatem liczba 25116 dzieli się przez 7 (a jak łatwo sprawdzić, dzieli się też przez 4 i 3, więc dzieli się przez 84).

Analogicznie działa wersja (b): m−p=7−5=2, więc: 2511−6·2=2499; 249−9·2=231; 23−1 ·2=21, co dzieli się przez 7, więc badana liczba 25116 dzieli się przez 7.

Poniższa tabelka podaje czynniki oraz dla liczb pierwszych z zakresu dzielnik pierwszy czynnik czynnik zalecany algorytm 7 5 2 (-2c) lub (+5c) 11 10 1 [-1c] lub (+10c)13 4 9 (+4c) 17 12 5 (−5c) 19 2 17 (+2c) 23 7 16 (+7c) 29 3 26 (+3c) 31 28 3 (−3c) 37 26 11 (−11c) 41 37 4 (−4c) 47 33 14 (−14c) lub (+33c) 53 16 37 (+16c) 59 6 53 (+6c) 61 55 6 (−6c) 67 47 20 (−20c) 71 64 7 (−7c) 73 22 51 (+22c) 79 8 71 (+8c) 83 25 58 (+25c) 89 9 80 (+9c) lub (−80c) 97 68 29 (+68c) lub (−29c)

itd.

W kolumnie „zalecany algorytm” zapis: (+6c) oznacza: „pomnóż ostatnią cyfrę przez 6 i dodaj do pozostałej części liczby”, a (−7c) – „pomnóż ostatnią cyfrę przez 7 i odejmij od pozostałej części liczby”. Zalecany wybór wariantu algorytmu podyktowany jest przede wszystkim wygodą wykonania jednego z wariantów mnożenia.