Rozwiązywanie równań wykładniczych

Przykładami równań wykładniczych mogą być:

Schemat rozwiązywania równań wygląda tak: Ustalamy dziedzinę. Sprowadzamy równanie, aby miało takie same podstawy lub sprowadzamy je do równania kwadratowego albo jeszcze do innego równania, tworząc przy tym odpowiednie założenia. Z równości podstaw wynika równość wykładników. Rozwiązujemy równanie. Sprawdzamy, czy rozwiązania przekształconych równań spełniają nasze założenie. Podajemy odpowiedź.

Przykład 1

Chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób: Ustalamy dziedzinę:

Sprowadzamy do tej samej podstawy:

Z równości potęg wynika równość wykładników:

Zatem rozwiązaniem równania jest -2. Możemy sprawdzić rozwiązanie:

Zatem

Przykład 2

Jeśli chcemy rozwiązać równanie , możemy to zrobić w ten sposób: Ustalamy dziedzinę i przekształcamy równanie:

Podstawiamy

Otrzymujemy:

Ponieważ : lub lub lub Liczby 3 i 4 są rozwiązaniami tego równania.

Rozwiązywanie nierówności wykładniczych

Przykładami nierówności wykładniczych są:

W celu rozwiązania nierówności wykładniczej należy: Ustalić dziedzinę Sprowadzić obie strony do tych samych podstaw albo przekształcić do innego równania, które potrafimy rozwiązać. Wykorzystujemy własności funkcji wykładniczej, przekształcając odpowiednio równanie: dla

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy” W skrócie: kiedy funkcja jest rosnąca znak nierówności pozostaje bez zmian. dla

analogicznie dla porównań „mniejszy bądź równy”, czy też „większy bądź równy” W skrócie: kiedy funkcja jest malejąca znak nierówności zamieniamy na przeciwny. Rozwiązujemy otrzymane równanie. Udzielamy odpowiedzi. Popatrzmy jeszcze raz na punkt trzeci. Wynika z niego, że jeśli mamy równanie , możemy je przekształcić na równanie , ponieważ . Natomiast , ponieważ .

Przykład 1

Chcemy rozwiązać nierówność . W tym celu: Ustalamy dziedzinę:

Sprowadzamy do tych samych podstaw:

Ponieważ , wykorzystujemy prawo :

Przenosimy wszystko na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Z własności , wynika że: , krotność 2 i o krotności 1.

Czyli