Przykłady); jednakże jeśli jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzeniaTwierdzenie: Niech jeżeli to przekształcenie wieloliniowe które jest antysymetryczne, jest również alternujące.Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych zostaną rozważone Z antysymetrii stąd zatem a skoro to . – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.
Zbiór wszystkich funkcji tworzy moduł nad pierścieniem a przekształcenia wieloliniowe tworzą podmoduł wspomnianego modułuW istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem to określone punktowo odwzorowania oraz dla również są przekształceniami wieloliniowymi.;