Przekształcenie wieloliniowe – funkcja określona na iloczynie kartezjańskimWłaściwie: iloczynie prostym bądź sumie prostej – w przypadku skończenie wielu czynników/składników konstrukcje te są równoważne (tzn. izomorficzne). przestrzeni liniowych w daną przestrzeń liniową (nad ustalonym ciałem), która jest liniowa ze względu na każdy argument z osobna. Jeżeli docelową przestrzeń liniową zastąpi się ciałem, nad którymi zbudowane są przestrzenie liniowe dziedziny, to tego rodzaju funkcje te nazywa się formami wieloliniowymi. Jeśli liczba czynników w dziedzinie jest ustalona, równa to mówi się wtedy odpowiednio o przekształceniach i formach -liniowych; struktura tych przekształceń jest dobrze znana z uwagi na ich izomorficzność z przekształceniami liniowymi uzyskaną za pomocą konstrukcji iloczynu tensorowego (zob. Uogólnienia).

Pojęcie to uogólnia się bezpośrednio na moduły (nad ustalonym pierścieniem przemiennym) i to właśnie w ich kontekście zostanie ono opisane w tym artykule.

Potęga kartezjańska

Niech dane będą: (niekoniecznie wieloliniowe) przekształcenie gdzie są dowolnymi modułami nad pierścieniem przemiennym gdzie oraz permutacja należąca do grupy symetrycznej Zamiana argumentów funkcji miejscami zgodnie z porządkiem wyznaczonym przez daje inną funkcję daną wzorem Nową funkcję można postrzegać jako efekt działania na co można zapisać zob. działanie grupy na zbiorze. Wówczas jest równe nie zaś co oznacza, że działanie grupy na zbiorze funkcji jest prawostronne, a nie lewostronne.. Funkcję nazywa się odpowiednio symetryczną, gdy nie zmienia znaku przy dowolnej permutacji,

antysymetryczną, gdy zachowuje znak przy permutacji parzystej i zmienia go na przeciwny przy nieparzystej,

alternującą, gdy znika przy równych choć dwóch argumentach,

W powyższych definicjach zmienne indeksowane są kolejno liczbami jednakże własności te nie zależą od użytego porządku liczb naturalnychTwierdzenie: Jeśli jest symetryczna, to antysymetryczna, to alternująca, to

dla dowolnego uporządkowania liczb Dowód: Uporządkowanie liczb naturalnych stanowi permutację zbioru z nich złożonego oznaczaną dalej tj. Jeżeli jest antysymetryczna, to stąd dla dowolnej zachodzi

Podobnie dowodzi się niezależności dla symetryczności i alternacyjności.. Jeżeli to przekształcenie wieloliniowe które jest alternujące, jest również antysymetrycznePrzypadek opisano w artykule o formach dwuliniowych (zob. dowód). Zupełnie jak wyżej, dla dowolnych permutacji zachodzi zatem definicję antysymetryczności wystarczy sprawdzić dla generujących np. transpozycji postaci innymi słowy należy pokazać, że dla dowolne wieloliniowe przekształcenie alternujące spełnia Wystarczy w tym wypadku rozpatrzeć przekształcenie dwuliniowe która jest alternujące: z przypadku jest ona antysymetryczne, co dowodzi tezy.; w ogólności dla dowolna funkcja jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy

oraz alternująca wtedy i tylko wtedy, gdy

dla W poprzednim dowodzie dla antysymetryczności nie wykorzystywano (wielo)liniowości, zatem jest on poprawny dla wszystkich funkcji. Jeśli znika dla dowolnego układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe, to jest antysymetryczna, co właśnie udowodniono; stąd wartość dla układu argumentów, z których dwa są sobie równe, jest co do znaku równa wartości dla układu argumentów, z których dwa sąsiadujące są sobie równe – z założenia wartość ta wynosi . Istnieją przekształcenia wieloliniowe, które są antysymetryczne, ale nie alternujące (zob. Przykłady); jednakże jeśli jest jednością pierścienia, to zachodzi odwrócenie poprzedniego twierdzeniaTwierdzenie: Niech jeżeli to przekształcenie wieloliniowe które jest antysymetryczne, jest również alternujące.Dowód: Dla ustalenia uwagi zamiast dowolnych, różnych zostaną rozważone Z antysymetrii stąd zatem a skoro to . – oznacza to, że w przypadu pierścieni takich jak ciało liczb rzeczywistych, czy zespolonych terminy „antysymetryczność” i „alternacyjność” można stosować wymiennie.

Zbiór wszystkich funkcji tworzy moduł nad pierścieniem a przekształcenia wieloliniowe tworzą podmoduł wspomnianego modułuW istocie moduły będące czynnikami iloczynu kartezjańskiego mogą być parami różne. Jeśli są przekształceniami wieloliniowymi między iloczynem kartezjańskim modułów a ustalonym modułem nad wspólnym pierścieniem to określone punktowo odwzorowania oraz dla również są przekształceniami wieloliniowymi.; ponadto zbiór przekształceń wieloliniowych ustalonego rodzaju (tzn. symetrycznych, antysymetrycznych, czy alternujących) jest podmodułem tego podmodułuWynika to wprost z definicji wspomnianych rodzajów przekształceń oraz funkcji dodawania i mnożenia przez skalar określonych punktowo. (zob. przestrzeń funkcyjna).

Przykłady Funkcja dana wzorem jest symetryczna. Funkcja przekształcająca (por. wyznacznikPodobnie do niego definiowany permanent jest symetryczny.) jest antysymetryczna i alternująca; podobnie jak iloczyn wektorowy czy jego zespolony odpowiednik odwzorowujący Jeżeli zawiera czyli w to mnożenie jest symetryczne, antysymetryczne, lecz nie jest alternujące.

Uogólnienia Jeśli przekształcenie jest wieloliniowe, a jest liniowe, to ich złożenie również jest wieloliniowe, a ponadto jeżeli było symetryczne, antysymetryczne lub alternujące, to ma tę samą własność. W ten sposób można tworzyć nowe przekształcenia wieloliniowe (symetryczne, antysymetryczne, czy alternujące), składając istniejące z przekształceniami liniowymi; -te przekształcenie tensorowe odwzorowujące w jest szczególnym przypadkiem przekształcenia wieloliniowego na a każde inne pochodzi od niego (zob. iloczyn tensorowy modułów). W ogólności konstrukcja ta może być wykonana dla dowolnych -modułów – istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między przekształceniami wieloliniowymi oraz przekształceniami liniowymi dana wzorem

Ograniczenie się do tych samych modułów w dziedzinie umożliwia rozpatrywanie alternujących przekształceń wieloliniowych (permutowanie argumentów ma sens tylko wtedy, gdy pochodzą one z tego samego modułu), dlatego konstrukcja algebry zewnętrznej możliwa jest tylko na potędze kartezjańskiej.

Jeśli są przestrzeniami unormowanymi nad ustalonym ciałem, to można mówić wtedy o ograniczoności przekształcenia wieloliniowego która pociąga jego ciągłość (zob. ograniczone przekształcenie liniowe); wspomniane przekształcenie jest ograniczone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka stała rzeczywista że dla każdego wektora zachodzi

Zobacz też forma półtoraliniowa forma wieloliniowa

Uwagi

Bibliografia

Kategoria:Przekształcenia liniowe