Функцыяна́л — гэта функцыя, якая зададзена на адвольным мностве і мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў або комплексных лікаў .

Азначэнні Вобласць вызначэння функцыянала можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з’яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць неперарыўны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца лінейнай прасторай над або над , можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца ўпарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы , называецца неперарыўным, калі ён неперарыўны як адвображанне ў тапалагічную прастору або .

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы , называецца неперарыўным у кропцы , калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адвображанне ў тапалагічную прастору або .

У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адвображанне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.

Зададзены на лінейнай прасторы функцыянал, які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адвображанне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .

Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).

Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (неперарыўныя функцыі на адрэзку, інтэгравальныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адвображанне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).

Функцыянал на лінейнай прасторы называецца дадатна вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.

Адвображанне, якое пераводзіць вектар у яго норму, з’яўляецца выпуклым дадатна вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.

Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў: знайсці рашэнне (ураўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы ўключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.

Функцыянал у лінейнай прасторы

Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыянала аддзялілася паняцце функцыянала ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адвображвае элементы лінейнай прасторы ў яе прастору скаляраў. Часта (напрыклад, калі прастора функцый з’яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця «функцыянал» супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адна адну.

Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з’яўляюцца лінейныя функцыяналы.

Прыклады норма функцыі значэнне функцыі ў фіксаванай кропцы максімум або мінімум функцыі на адрэзку велічыня інтэграла ад функцыі даўжыня графіка рэчаіснай функцыі рэчаіснай зменнай даўжыня крывой, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй рэчаіснага аргумента (даўжыня шляху) плошча паверхні, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй двух рэчаісных аргументаў скалярны здабытак на фіксаваны вектар дзеянне ў механіцы функцыянал энергіі

Гл. таксама Аператар (матэматыка)

Крыніцы

Літаратура

Математическая Энциклопедия. Функционал Конев В. В., Элементы Функционального Анализа

Катэгорыя:Функцыянальны аналіз Катэгорыя:Тыпы функцый