thumb|Página del Compendio de cálculo por compleción y comparación de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (820 d. C.).
La historia de la matemática es el área de estudio de investigaciones sobre los orígenes de descubrimientos en la matemática, de los métodos de la evolución de sus conceptos y también en cierto grado de los matemáticos involucrados. El surgimiento de la matemática en la historia humana está estrechamente relacionado con el desarrollo del concepto del número, proceso que ocurrió de manera muy gradual en las comunidades humanas primitivas. Aunque disponían de una cierta capacidad de estimar tamaños y magnitudes, no poseían inicialmente una noción de número. Así, los números más allá de dos o tres, no tenían nombre, de modo que utilizaban alguna expresión equivalente a "muchos" para referirse a un conjunto mayor.
El siguiente paso en este desarrollo es la aparición de algo cercano a un concepto de número, aunque muy básico, todavía no como entidad abstracta, sino como propiedad o atributo de un conjunto concreto. Más adelante, el avance en la complejidad de la estructura social y sus relaciones se fue reflejando en el desarrollo de la matemática. Los problemas a resolver se hicieron más difíciles y ya no bastaba, como en las comunidades primitivas, con solo contar cosas y comunicar a otros la cardinalidad del conjunto contado, sino que llegó a ser crucial contar conjuntos cada vez mayores, cuantificar el tiempo, operar con fechas, posibilitar el cálculo de equivalencias para el trueque. Es el momento del surgimiento de los nombres y símbolos numéricos.
Antes de la Edad Moderna y la difusión del conocimiento a lo largo del mundo, los ejemplos escritos de nuevos desarrollos matemáticos salían a la luz solo en unos pocos escenarios. Los textos matemáticos más antiguos disponibles son la tablilla de barro Plimpton 322 (c. 2000-1900 a. C.),Friberg, J. (1981). "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, pp. 277–318. el papiro de Moscú (c. 1850 a. C.), el papiro de Rhind (c. 1800 a. C.) Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96. y los textos védicos Shulba Sutras (c. 800 a. C.).
El estudio de la matemática como "disciplina demostrativa" comenzó en el con los pitagóricos, que acuñaron el término "matemática" a partir del griego antiguo μάθημα (mathema), que significa "materia de instrucción". La matemática griega refinó enormemente los métodos (especialmente mediante la introducción del razonamiento deductivo y el rigor matemático en las demostraciones) y ampliaron la materia de la matemática.Heath, Thomas L. (1963). A Manual of Greek Mathematics, Dover, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."Aunque no hicieron prácticamente ninguna contribución a las matemáticas teóricas, los antiguos romanos utilizaron las matemática aplicada en topografía, ingeniería estructural, ingeniería mecánica, contabilidad, creación de calendarios lunares y solares e incluso artes y oficios. Las matemática chinas hicieron contribuciones tempranas, incluyendo un sistema de valor posicional y el primer uso de números negativos.Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books, London, pp. 140–48.Ifrah, Georges (1986). Universalgeschichte der Zahlen. Campus, Frankfurt/New York, pp. 428–37. El sistema numérico indo-árabico y las reglas para el uso de sus operaciones, en uso en todo el mundo hoy en día evolucionaron en el transcurso del primer milenio d. C. en la India y se transmitieron al mundo occidental a través de la matemática islámica a través de la obra de Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī.Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Allen Lane/The Penguin Press, London."The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius." – Pierre Simon Laplace http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html Las matemática islámica, a su vez, desarrollaron y ampliaron la matemática conocida por estas civilizaciones.Juschkewitsch, A. P. (1964). Geschichte der Mathematik im Mittelalter. Teubner, Leipzig.
La matemática egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.Heath, Thomas L. A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science." La matemática en el islam medieval, a su vez, desarrolló y extendió la matemática conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Contemporáneas pero independientes de estas tradiciones fueron las matemática desarrolladas por la civilización maya de México y América Central, donde el concepto de cero recibió un símbolo estándar en los numerales mayas. Muchos textos griegos y árabes de matemática fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.
Desde el renacimiento italiano, en el , los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, han ido creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.
Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
Prehistoria
thumb|Sistema chino de numeración con varillas.
Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemática elemental y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en la Cueva de Blombos en Sudáfrica de aproximadamente 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos. También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a. C.,Old Mathematical Objects que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.
Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales. El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación por duplicación.
Edad Antigua miniaturadeimagen|Tablilla babilónica donde se muestran ternas pitagóricas.
Babilonia
Egipto
Grecia
Gran Bretaña Los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del III milenio a. C., podrían incorporar ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.Thom, Alexander, Archie Thom, 1988, "The metrology and geometry of Megalithic Man", pp. 132-151 in C.L.N. Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander Thom. Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-33381-4.
China
India
Incas
Mayas
Edad Media
Mundo islámico
Europa thumb|Ilustración de los Elementos de Euclides, hacia 1309-1316.
Durante la Edad Media las aplicaciones del álgebra al comercio, y el dominio de los números, lleva al uso corriente de los números irracionales, una costumbre que es luego transmitida a Europa. También se aceptan las soluciones negativas a ciertos problemas, cantidades imaginarias y ecuaciones de grado tres.
El desarrollo de la matemática durante la Edad Media es frecuentemente motivada por la creencia en un «orden natural»; Boecio las sitúa dentro del currículo, en el , al acuñar el término Quadrivium para el estudio metódico de la aritmética, la geometría, la astronomía y la música; en su De institutione arithmetica, una traducción de Nicómaco, entre otros trabajos que constituyeron la base de la matemática hasta que se recuperaron los trabajos matemáticos griegos y árabes.Caldwell, John (1981) "The De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp. 135-54 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, Thought, and Influence, (Oxford: Basil Blackwell).Folkerts, Menso, "Boethius" Geometrie II (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970).
Durante el , particularmente en Italia y en España, se traducen textos árabes y se redescubren los griegos.Maurice Mashaal, p. 51. Toledo se vuelve un centro cultural y de traducciones; los escolares europeos viajan a España y a Sicilia en busca de literatura científica árabe. Véase Traducciones latinas del siglo XII, incluyendo el Compendio de cálculo por compleción y comparación de al-Khwārizmī, y la versión completa de los Elementos de Euclides, traducida a varios idiomas por Adelardo de Bath, Herman de Carinthia, y Gerardo de Cremona.Marie-Thérèse d'Alverny, "Translations and Translators", pp. 421-62 en Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century (Cambridge: Harvard University Press, 1982).Guy Beaujouan, "The Transformation of the Quadrivium", pp. 463-87 en Robert L. Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelfth Century (Cambridge: Harvard University Press, 1982).
El crecimiento económico y comercial que conoce Europa, con la abertura de nuevas rutas hacia el oriente musulmán, permite también a muchos mercaderes familiarizarse con las técnicas transmitidas por los árabes. Las nuevas fuentes dan un impulso a la matemática. Fibonacci escribe su Liber Abaci en 1202, reeditado en 1254, produce el primer avance significativo en matemática en Europa con la introducción del sistema de numeración indio: los números arábigos (sistema de notación decimal, posicional y con uso común del cero). En teoría enseñada en el Quadrivium, pero también destinada a la práctica comercial. Esta enseñanza se transmite en las botteghe d'abbaco o «escuelas de ábacos», en donde los maestri enseñaban la aritmética, la geometría y los métodos calculatorios a los futuros comerciantes, a través de problemas recreativos, conocidos gracias a «tratados de álgebra» que estos maestros han dejado.Van Egmond, Warren, The Commercial Revolution and the beginnings of Western Mathematics in Renaissance Florence, 1300-1500, éd. University of Michigan UMI Dissertation Services, Ann Arbor, Michigan, États-Unis, 628 p. Aunque el álgebra y la contabilidad corren por senderos separados,Heeffer, Albrecht: On the curious historical coincidence of algebra and double-entry bookkeeping, Foundations of the Formal Sciences, Ghent University, November 2009, p. 7 para cálculos complejos que involucran interés compuesto, un buen dominio de la Aritmética es altamente valorado.
Renacimiento europeo
thumb|Ritratto di Luca Pacioli, 1495, atribuido a Jacopo de'Barbari (Museo di Capodimonte).