thumb|Représentation de la fonction avec deux pôles d'ordre 1, en z = et z = -.
En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul.
Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe.
Définition et propriétés Soient un ouvert du plan complexe ℂ, un élément de et une fonction holomorphe. On dit que est un pôle de (ou que admet un pôle en ) s'il existe une fonction holomorphe sur un voisinage de telle que et un entier tels que pour tout dans on ait . Une telle écriture est alors unique et l'entier est appelé lordre du pôle. Un pôle d'ordre est appelé parfois pôle simple.
Un pôle de est un point en lequel tend vers l'infini.
Le point est un pôle de si (et seulement si) au voisinage de , n'est pas bornée et est bornée.
Exemples et contre-exemples
La fonction
a un pôle d'ordre 1 (ou pôle simple) en . La fonction
a un pôle d'ordre 2 en et un pôle d'ordre 3 en . La fonction
a un pôle d'ordre 2 en , car est équivalent à au voisinage de (cela se montre par exemple en utilisant la série de Taylor de la fonction sinus à l'origine). Contrairement aux apparences, la fonction
n'admet pas un pôle en , car en raison de l'équivalent évoqué à l'exemple précédent, est équivalent à 1 au voisinage de . En particulier, reste bornée au voisinage de l'origine, donc n'est pas un pôle de . On peut alors prolonger en une fonction holomorphe sur tout entier. On dit que est une singularité effaçable de . La fonction
n'admet pas un pôle en . En effet et sont toutes les deux non bornées au voisinage de . On parle alors de singularité essentielle et non plus de pôle.
Voir aussi Zéro (analyse complexe) Résidu (analyse complexe) Fonction rationnelle
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