vignette|redresse=1.5|Le théorème de la moyenne (en analyse réelle)
En analyse réelle, le théorème de la moyenne est un résultat classique concernant l'intégration des fonctions continues d'une variable réelle, selon lequel la moyenne d'une fonction continue sur un segment se réalise comme valeur de la fonction.
Énoncé
vignette|Inégalité de la moyenne: la valeur moyenne d'une fonction continue sur est comprise entre son minimum et son maximum. L'intégrale est ici définie au sens de Riemann (mais étant supposée continue, une forme plus simple d'intégration, comme celle utilisée par Cauchy, peut être employée) ; si on admet le premier théorème fondamental de l'analyse, le théorème de la moyenne se confond avec le théorème des accroissements finis.
On n'en utilise souvent que la conséquence plus faible suivante, connue sous le nom d’inégalité de la moyenne : (ce dernier résultat est encore valable pour des fonctions intégrables quelconques)
Remarques Graphiquement, une interprétation de ce théorème est que l'aire algébrique sous la courbe représentative de est égale à celle d'un rectangle de base , et de hauteur un point moyen de la courbe. Ce théorème s'étend aux fonctions réelles de plusieurs variables sur un domaine compact et connexe par les intégrales multiples. Le théorème de la moyenne énonce l'existence d'un réel mais ne donne aucune information sur sa dépendance en la fonction . L'hypothèse de continuité est essentielle. Par exemple pour en posant si et sinon, la valeur moyenne de vaut 1/2 donc n'est pas réalisée comme valeur de .
Démonstration En utilisant le premier théorème fondamental de l'analyse, ou alors en court-circuitant la théorie de l'intégrale de Riemann et en prenant, comme définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un intervalle, la variation sur cet intervalle de l'une quelconque de ses primitives (donc en admettant qu'il en existe), le théorème de la moyenne devient une simple reformulation du théorème des accroissements finis.
En effet, si est une primitive de , alors le théorème des accroissements finis pour fournit l'existence d'un réel strictement compris entre et tel que
ce qui est le résultat souhaité puisque et
Pour une démonstration plus « directe », cf. généralisation ci-dessous en posant .
Généralisation De même que le théorème de la moyenne est une version intégrale du théorème des accroissements finis, sa généralisation suivante est une version intégrale du théorème des accroissements finis généralisé :
Pour toutes fonctions d'une variable réelle et continues sur le segment , avec , gardant un signe constant sur , il existe un réel de tel que
Remarque L'hypothèse que garde un signe constant est indispensable : par exemple pour et , il n'existe aucun tel que .
Références
Annexes Articles connexes Théorème des accroissements finis pour les différences divisées Intégrale de Stieltjes : première et seconde formules de la moyenne
Liens externes Paul Mansion, « Sur le second théorème de la moyenne » (1885), en ligne et commenté sur BibNum.
Moyenne Theoreme moyenne Catégorie:Moyenne