L'axiome d'Archimède est une formulation antique d'axiomes dits de continuité. Il est présent dans les Éléments d'Euclide. Cet axiome entre donc d'abord dans le cadre de la géométrie synthétique ; cependant, il dépasse largement celui-ci. Dans le sens moderne, on donne le nom d'archimédien à des structures dont les éléments vérifient une propriété analogue à l'axiome d'Archimède.
Formulations antiques L'axiome d'Archimède est une propriété utilisée dès l'Antiquité. Il s'applique aux grandeurs ayant une raison entre elles, ce qui, selon le livre V des Éléments d'Euclide, signifie :
Archimède attribue en fait cet axiome à Eudoxe de Cnide. L'axiome s'applique aux longueurs, aux aires, aux volumes, aux angles de droites. Cette propriété est utilisée dans le livre V des Éléments pour définir la notion de proportion entre grandeurs. Elle permet de prouver la proposition 1 du livre X des Éléments, qui est fréquemment utilisée dans la méthode d'exhaustion :
Axiomes de continuité David Hilbert donne, dans ses fondements de la géométrie, une formulation moderne de l'axiome d'Archimède, qui est le premier axiome de continuité (axiome V.1) : Soient deux segments [AB] et [CD], avec C distinct de D. Alors il existe un entier n, et n points A1,...,An de la droite contenant le segment [AB], tels que : Aj se situe entre Aj–1 et Aj+1 si AjAj+1 est congru à CD si 1 ≤ j < n – 1, A est confondu avec A1 B se situe entre A et An.
Hilbert ajoute un second axiome de continuité, qui est la complétude de la géométrie.
Notes
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