En mathématiques, et plus précisément en analyse, le dual topologique est le sous-espace du dual algébrique constitué des formes linéaires continues. Définition Soit E un espace vectoriel topologique sur le corps ℝ ou ℂ.
Le dual topologique E''' de E est le sous-espace vectoriel de E* (le dual algébrique de E) formé des formes linéaires continues.
Si l'espace est de dimension finie, le dual topologique coïncide avec le dual algébrique, puisque dans ce cas toute forme linéaire est continue.
Mais dans le cas général, l'inclusion du dual topologique dans le dual algébrique est stricte. Topologies duales Dans certains cas, on peut définir canoniquement diverses topologies sur le dual. Topologie faible du dual À tout vecteur de on peut faire correspondre l'application de dans ℝ définie par . Cette application est une semi-norme sur . La topologie d'espace localement convexe définie par cette famille de semi-normes s'appelle la topologie faible du dual. C'est la topologie la moins fine rendant continues les applications f↦f(v).
Par construction, cette topologie sur E' est séparée.
Topologie forte sur le dual d'un espace normé Si est un espace vectoriel normé, on peut définir une norme duale au vu des développements de l'article sur la jauge d'un convexe. Une norme est en effet une jauge dont la jauge polaire n'est autre que la norme duale. ║ . ║’ sur par
(C'est un cas particulier de la norme d'opérateur.) muni de cette norme est appelé le dual fort de . C'est un espace de Banach (cf. proposition 4 du § « Complétude » de l'article « Espace vectoriel normé »).
Il est important de remarquer que même en dimension finie, les espaces normés et, qui sont algébriquement isomorphes, ne sont pas isométriques en général. Par exemple, sur ℝ, les normes et sont duales l'une de l'autre, mais ne sont pas isométriques dès que n ≥ 3.
Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki affirme que la boule unité fermée du dual fort d'un espace de Banach est *-faiblement compacte.
On déduit alors du théorème de Krein-Milman que si la boule unité d'un espace de Banach n'a aucun point extrémal (par exemple si = ou = c, l'espace des suites de limite nulle) alors n'est le dual d'aucun espace.
L'espace , lui, est le dual de c et de nombreux autres espaces.., dont ou, plus généralement, des fonctions continues sur un compact dénombrablePour une étude plus systématique, voir ..
Dual topologique d'un espace préhilbertien Lorsque H est un espace préhilbertienDans le cas complexe, deux conventions coexistent (voir l'article Forme sesquilinéaire complexe) : produit scalaire ⟨ v, w ⟩ linéaire par rapport à v et semi-linéaire par rapport à w, comme dans les articles Espace préhilbertien et Espace de Hilbert, ou l'inverse, comme ici et dans l'article Théorème de représentation de Riesz. La définition de l'application j varie naturellement en fonction de la convention choisie., il existe une isométrie semi-linéaire (donc ℝ-linéaire) canonique de H dans H' : pour tout élément de H, est la forme linéaire continue définie par : On démontre, grâce au théorème de représentation de Riesz, une propriété fondamentale :
On en déduit (cf. § « Structure du dual » de l'article « Espace préhilbertien ») :
Bidual (topologique) Alors que la notion purement algébrique du bidual ne présente aucune ambiguïté, il en est tout autrement pour les notions topologiques. En effet, selon la topologie retenue sur le dual, l'ensemble des formes linéaires continues sur ce dual pourra être plus ou moins gros.
Bidual d'un espace de Banach et réflexivité
Dans le cas d'un espace vectoriel normé E, ce qu'on appelle en général le bidual, noté E'', est le dual du dual fort.
Il existe une application naturelle de E dans son bidual, l'application d'évaluation
qui constitue une injection isométrique d'après le théorème de Hahn-Banach. Lorsque J est une bijection, l'espace E est dit réflexif.
Exemples : voir « Propriétés des espaces de suites ℓ » et « Dualité des espaces ».
Théorème de Goldstine, chap. 4, § 5, Prop. 5. Pour tout espace vectoriel normé réel E, la boule unité de E'' est l'adhérence pour la topologie σ(E'', E') (la topologie faible-* sur E'') de l'image par J de la boule unité de E''.
Notes et références
Voir aussi Articles connexes
Dual d'un espace vectoriel topologique
Bibliographie
Catégorie:Espace vectoriel topologique