vignette|Édition de 1670 des Arithmétiques de Diophante. Une équation diophantienne, en mathématiques, est une équation polynomiale à une ou plusieurs inconnues dont les solutions sont cherchées parmi les nombres entiers, éventuellement rationnels, les coefficients étant eux-mêmes également entiers. La branche des mathématiques qui s'intéresse à la résolution de telles équations s'est appelée longtemps l'analyse indéterminée avant de se fondre dans l'arithmétique ou la théorie des nombres.
Si l'expression du problème posé est parfois simple, les méthodes de résolution peuvent devenir complexes. Carl Friedrich Gauss, au , écrivait de la théorie des nombres que
Certaines équations diophantiennes ont demandé pour leur résolution les efforts conjugués de nombreux mathématiciens sur plusieurs siècles. Gauss se plaignait Le dernier théorème de Fermat est un exemple archétypal ; il est conjecturé par Pierre de Fermat et démontré en 1994 par Andrew Wiles, après 357 ans d'efforts de la part de nombreux mathématiciens.
L'intérêt de la résolution de questions de cette nature réside rarement dans l'établissement d'un théorème clé pour les mathématiques, la physique ou les applications industrielles, même s'il existe des contre exemples comme la cryptologie, qui fait grand usage du petit théorème de Fermat. Leur analyse amène le développement d'outils mathématiques puissants dont l'usage dépasse le cadre de l'arithmétique. Les formes quadratiques sont à cet égard exemplaires. La richesse et la beauté formelle des techniques issues de la résolution d’équations diophantiennes fait de l'arithmétique la branche « reine des mathématiques » pour David Hilbert.
Ce type d'équation doit son nom à Diophante d'Alexandrie, mathématicien grec du , auteur des Arithmétiques, traitant de questions de cette nature.
Arithmétique élémentaire Si les questions diophantiennes deviennent rapidement difficiles, il existe certaines exceptions résolubles avec un minimum d'outils théoriques et une démonstration courte et simple.
Identité de Bézout
vignette|Claude-Gaspard Bachet de Méziriac propose une méthode de résolution de l'identité de Bézout.
Quelques techniques élémentaires permettent de résoudre une première famille d'équations diophantiennes« Élémentaire » est pris ici au sens où la sophistication des outils est limitée. Il existe une deuxième définition de « preuve élémentaire » en arithmétique, signifiant que la démonstration n'utilise ni nombre ni technique transcendante. Selon cette deuxième définition la démonstration de Wiles du théorème de Fermat est « élémentaire », elle est pourtant ardue et utilise de nombreux outils difficiles et techniques.. Un exemple est donné par l'équation linéaire du premier degré à deux indéterminées et trois paramètres entiers :
Cette équation porte le nom d'identité de Bézout, du nom du mathématicien qui a généralisé ce résultat aux polynômesLa résolution de cette équation est plus précoce, Claude-Gaspard Bachet de Méziriac présente une solution dans son livre Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, paru en 1624.. Sa résolution n'utilise que la division euclidienne et l'algorithme d'Euclide. Cette identité possède un double statut. Elle correspond à une équation diophantienne et représente un des piliers soutenant l'édifice de l'arithmétique élémentaire. Le lemme d'Euclide se démontre à l'aide de cette identité et le théorème fondamental de l'arithmétique à l'aide du lemme d'Euclide. Le théorème fondamental permet de déterminer les propriétés des opérateurs plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple ainsi que celles des nombres premiers entre eux.
Théorème de Wilson
Un exemple d'équation diophantienne utilisant ces outils pour sa résolution est le théorème de Wilson. Il correspond à la résolution de l'équation suivante, le signe ! désignant la fonction factorielle :
Les seuls entiers qui satisfont cette équation sont les nombres premiers.
Triplet pythagoricien
Le lemme d'Euclide permet de venir à bout de la recherche des triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des triplets de nombres entiers vérifiant l'équation :
Ces mêmes techniques permettent de montrer que l'équation suivante, correspondant au dernier théorème de Fermat pour , n'a pas de solutions autres que celles qui vérifient = 0. Cette équation diophantienne correspond à :
Petit théorème de Fermat
vignette|Pierre de Fermat (1601-1665) est l'auteur de nombreuses découvertes sur les équations diophantiennes.
Pierre de Fermat consacre une large part de ses recherches mathématiques à la résolution de questions diophantiennes. Il découvre le petit théorème de Fermat qu'il exprime de la manière suivante : . En terme diophantien, il offre une réponse partielle à l'équation suivante, où désigne un entier et un nombre premier :
Le petit théorème de Fermat indique que – 1 est une valeur possible pour . Ce résultat possède de nombreuses applications. Il permet de construire des grands nombres premiers, comme ceux de Mersenne, correspondant à l'équation suivante où est recherché parmi les nombres premiers :
On peut montrer que est alors aussi un nombre premier. Cette question diophantienne permet de trouver les plus grands nombres premiers connus en 2013Le plus grand nombre premier connu en 2013 est 257 885 161 - 1 : .. Fermat s'intéresse à une équation analogue, permettant de construire d'autres nombres premiers portant maintenant son nom. Ici est encore recherché dans les nombres premiersL'article Nombre de Fermat donne un exemple de l'utilisation du petit théorème de Fermat pour établir la non-primalité d'un entier. :
À cette occasion, Fermat commet la seule conjecture fausse qu'on lui connaisse. Il imagine que tout nombre de Fermat est premier : . Presque un siècle s'écoule avant que Leonhard Euler (1707-1783) présente Leonhard Euler, « Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus », Comment. acad. scient. Petropol., vol. 6, 1738, p. 102-103, 1732. un diviseur du cinquième nombre de Fermat. Il ne dévoile la construction de sa preuve Leonhard Euler, « Theoremata circa divisors numerorum », Novi comment. acad. scient. Petropol., vol. 1, 1750, p. 20-48, 1747/48. que quinze ans plus tard. Elle correspond exactement aux travaux de Fermat, ayant permis de démontrer. en 1640 la non-primalité de deux nombres de Mersenne.
L'intérêt du petit théorème de Fermat ne se limite pas à l'étude de la primalité de nombres entiers. Il permet aussi de résoudre certaines équations, la suivante est un exemple où désigne un nombre premierUne résolution élémentaire de cette question est présentée dans la démonstration d'Euler du théorème des deux carrés de Fermat. :
Elle correspond à une étape de la résolution de l'équation suivante :
Si cette équation est résolue pour premier, il devient relativement aisé de la résoudre pour un entier positif quelconque. La résolution de cette équation se fonde sur un résultat nommé théorème des deux carrés de Fermat et dont la première preuve connue est l'œuvre d'EulerOn en trouve une trace dans sa correspondance avec Christian Goldbach : Correspondance d'Euler avec Goldbach.. Ce mathématicien généralise le petit théorème en apportant une réponse de même nature que celle de Fermat à l'équation suivante, ici et désignant deux entiers premiers entre eux :
Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'Euler.
Autres techniques vignette|Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) introduit les formes quadratiques pour étudier des équations diophantiennes comme les généralisations du théorème des deux carrés de Fermat.
Joseph-Louis Lagrange cherche à généraliser des équations diophantiennes déjà traitées dans des cas particuliers. L'équation du théorème des deux carrés devient, si désigne un entier sans facteur carré et un nombre premier :
Pour cela, il étudieJoseph-Louis Lagrange, « Recherches d'arithmétique, seconde partie », Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin, 1775 — Œuvres, vol. III, . Le théorème est démontré sous le nom de Lemme VII, . les formes quadratiques à deux variables, c'est-à-dire les fonctions φ, dépendant de trois paramètres entiers , qui à un couple associent :
Il cherche à savoir quelle forme quadratique est « équivalente » à quelle autre. « Équivalente » signifie, en termes modernes, qu'un changement de base dans ℤ (ℤ désigne l'ensemble des nombres entiers) permet de passer d'une forme à une autre. Cette démarche lui permet de résoudre l'équation (1) dans le cas où est égal à 1Sa démonstration pour le cas est présentée dans l'article sur le théorème des deux carrés de Fermat., 2, 3 ou 5. Le cas général reste hors de portée.
Une autre généralisation de cette équation est résolue à l'aide de cette méthode, elle consiste à trouver le plus petit nombre de carrés nécessaire pour trouver au moins une solution pour tout entier positif. La réponse est 4, elle correspond à l'équation suivante :
Le théorème des quatre carrés de Lagrange affirme que pour toute valeur de , cette équation admet une solution. Edward Waring (1736-1798) généralise la question sous le nom de problème de Waring qui s'exprime de la manière suivante. Combien faut-il de termes dans une somme de puissances k-ièmes pour obtenir tous les entiers positifs ?
L'équation (1), pour une valeur donnée de , impose de résoudre pour la même valeur du paramètre et pour un nombre premier quelconque, l'équation :
Pour chaque valeur de , il est souvent relativement simple de trouver la liste des nombres premiers admettant une solution pour l'équation (2). L'expression de la solution générale est conjecturée par Euler Leonhard Euler, « Observationes circa divisionem quadratorum per numeros primos », Opuscula analytica, vol. 1, 1783, p. 64-84., mais sa démonstration échappe aux arithméticiens du Adrien-Marie Legendre présente une preuve. Elle suppose cependant de résoudre une autre équation diophantienne, traitée par le théorème de la progression arithmétique, plus difficile que cette équation : Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris, 1798..
Lagrange s'intéresse à une autre question, déjà soulevée par Fermat 150 ans plus tôt et par Diophante dans l'Antiquité. Elle correspond à l'équation de Pell-Fermat. Si est un entier sans facteur carré, elle s'écrit :
Cette question est objet d'étude par les mathématiciens indiens si est égal à 1. La méthode chakravala T. S. Bhanu Murthy, A Modern Introduction to Ancient Indian Mathematics, New Age International, New Delhi, 1992, , . permet de trouver les solutions avec une grande efficacité. Bhāskara II (1114-1185) l'utilise pour égal à 61 et trouve la solution et = . Fermat redécouvre cette méthode et la démontre selon les critères de rigueur de l'époque. Lagrange trouve une autre méthode, fondée sur les fractions continues. Elle permet aussi de trouver une infinité de solutions pour toutes valeurs de ; le fait que toutes les solutions sont bien atteintes pour est enfin démontré ; le cas général reste néanmoins hors de portée.
Arithmétique modulaire
vignette|Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) est à l'origine d'une approche structurelle d'étude d'équations diophantiennes. Ces méthodes portent maintenant le nom d'arithmétique modulaire. Si quelques cas particuliers se traitent avec les méthodes élémentaires, en revanche les solutions générales restent inabordables. Aucun des trois cas d'équations diophantiennes quadratiques à deux indéterminées, n'est traité dans le cas général. Ils correspondent soit à une ellipse avec l'équation (1) du paragraphe précédent, soit à une parabole avec l'équation (2), soit à une hyperbole avec l'équation (3). Les méthodes de l'arithmétique élémentaire ne sont pas assez puissantes.