En géométrie, le sinus d'un angle dans un triangle rectangle est le rapport entre la longueur du côté opposé à cet angle et la longueur de l'hypoténuse. La notion s'étend aussi à tout angle géométrique (compris entre 0 et 180°). Dans cette acception, le sinus est un nombre compris entre 0 et 1. Si l'on introduit une notion d'orientation, les angles peuvent prendre n'importe quelle valeur positive ou négative, et le sinus est un nombre compris entre −1 et 1. Le sinus d'un angle est noté ou simplement La notation avec parenthèses est toujours correcte. La notation plus concise n'est acceptable que si l'argument est simple : on peut écrire ou , mais obligatoirement ..
En analyse, la fonction sinus est une fonction de la variable réelle qui, à chaque réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α radians. C'est une fonction impaire et périodique. Les fonctions trigonométriques peuvent se définir ainsi géométriquement, mais les définitions plus modernes les caractérisent par des séries entières ou comme des solutions d'équations différentielles particulières, permettant leur extension à des valeurs arbitraires et aux nombres complexes.
La fonction sinus est utilisée couramment pour modéliser des phénomènes périodiques comme les ondes sonores ou lumineuses ou encore les variations de température au cours de l'année.
Origine du mot Le mot sinus est un mot latin désignant, entre autres, une cavité ou une pocheOn trouve ce sens en anatomie, par exemple pour le sinus maxillaire. C'est par une erreur de traduction qu'il a été attribué à la longueur d'un des côtés du triangle rectangle. La confusion prend son origine dans le mot , qui signifie "corde", utilisé en astronomie indienne pendant la période Gupta (dans le traité Surya Siddhanta).
Là où les géomètres grecs, tels Claude Ptolémée, avaient dressé des tables trigonométriques en calculant la longueur d'une corde sous-tendant un arc, les mathématiciens indiens décidèrent d'utiliser la demi-corde, soit ardha-jyās (ou ardha-jiva en sanskrit). Le mot fut bientôt abrégé en jya ou jiva.
Au , les Arabes traduisirent le mot jiva désignant la corde entière en watar, mais gardèrent le mot indien jiva pour désigner la demi-corde, et l'arabisèrent sous la forme jib ou jaib.
Vers le les traducteurs latins des travaux arabes, prenant le mot jaib pour son homonyme désignant une cavité ou un pli dans un vêtement, le traduisirent par le mot latin sinus...
Sinus d'un angle Sinus d'un angle géométrique Dans un triangle rectangle vignette|Sinus = . Le sinus d'un angle aigu non orienté de mesure (en degrés entre 0 et 90°, en radians entre 0 et , en grades entre 0 et 100 gr) est un nombre réel positif compris entre 0 et 1. Il peut se définir dans un triangle rectangle arbitraire dont l'un des angles autre que l'angle droit a pour mesure .
Les côtés du triangle rectangle sont appelés : l’hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, une jambe de l'angle de mesure et le côté le plus long du triangle ; le côté opposé : c'est le côté opposé à l'angle de mesure qui nous intéresse ; le côté adjacent : c'est le côté qui est une jambe de l'angle de mesure , qui n'est pas l'hypoténuse.
On notera : h : la longueur de l'hypoténuse ; o : la longueur du côté opposé. Alors : .
Ce rapport ne dépend pas du triangle rectangle particulier choisi avec un angle de mesure , puisque tous ces triangles rectangles sont semblables.
Dans un triangle quelconque Dans un triangle quelconque, le sinus de l'angle ABC est égal au rapport de la hauteur issue de A par la longueur BA. Il est égal aussi au rapport de la hauteur issue de C par la longueur BC :
Le sinus d'un angle obtus est ainsi égal au sinus de l'angle supplémentaire.
La connaissance du sinus d'un angle permet de calculer l'aire d'un triangle :
Réciproquement, le sinus d'un angle peut être calculé dès que l'on connait les côtés et l'aire du triangle (l'aire d'un triangle peut se calculer par la formule de Héron, ou grâce au produit vectoriel) :
Les sinus des trois angles d'un triangle sont liés par la loi des sinus. Si l'on note , et les côtés opposés aux sommets A, B et C, et R le rayon du cercle circonscrit au triangle, on a :
Repères historiques Des tables trigonométriques sont utilisées dans l'antiquité, en Mésopotamie, dans l'empire grec, et dans la péninsule indienne, en trigonométrie sphérique pour les calculs astronomiques. Pour eux, il s'agit de longueurs associées à des arcs de cercles dont le rayon est donné. Les premières tables utilisent la corde d'un arc de cercle. L'une de ces tables a été calculée par Hipparque au , , mais aucun exemplaire ne nous est parvenu. Celle de Claude Ptolémée figure dans son Almageste et son élaboration a pu s'inspirer de celle d'Hipparque. Les Indiens commencent par travailler eux aussi sur les tables de cordes qu'ils appellent jya ou jiva. Ils préfèrent ensuite travailler sur une nouvelle quantité, plus simple pour les calculs, qui correspond à la demi-corde de l'arc double. Ils appellent cette quantité ardha-jya, soit la demi-corde, puis progressivement, le terme de jya s'impose pour la demi-corde de l'arc double. Le terme est alors repris par les arabes qui le translittèrent en jiba qui évolue en jaib. Lors de la traduction des écrits arabes par Gérard de Crémone, ce terme subit une dernière modification : Gérard de Crémone le confond avec un terme arabe, de même consonance, qui a le sens de « sein », « anse » ou « cavité », et le traduit donc par le mot latin correspondant sinus , .
Les premières tables de sinus connues sont celles des Siddhantas, notamment le Surya Siddhanta (fin du -début du ). et celles d'Aryabhata au . Aryabatha part du principe que, pour la partie d'un quart de cercle, on peut confondre la longueur d'un arc et son sinus. Le tiers d'un quart de cercle correspond à un angle de , dont le sinus est évident : un demi-rayon. Pour obtenir ensuite la partie du quart de cercle, il suffit de diviser 3 fois par 2 l'angle initial. Aryabhata est capable, grâce au théorème de Pythagore, de calculer le sinus de l'angle moitié. Il prend un cercle de rayon , ce qui conduit, avec la valeur de π utilisée à l'époque () à un cercle de circonférence (on remarque qu'un angle plein correspond à soit minutes). Il donne, pour cette valeur du rayon, les 24 valeurs des sinus des arcs de longueurs , . Les Indiens fournissent également les tables de sinus pour des cercles de rayon 60, 150, 120... Cette habitude de construire des tables de sinus correspondant à un cercle dont le rayon, fixé arbitrairement, est appelé «sinus total», , perdure en Europe encore jusqu'à la fin du Voir par exemple la Table trigonométrique décimale de Jean-Charles de Borda où est expliqué que logarithme décimal du centième d'un quart de cercle (soit 1 grade) vaut 8,196111, ce qui correspond à un cercle de rayon 10, et qui évalue , le logarithme décimal du sinus de 69,48 grades à environ 9,948 soit un sinus de ..
Sinus d'un angle orienté vignette| est égal à l'ordonnée du point du cercle situé sur la demi-droite faisant un angle α avec la demi-droite Ox (ordonnée indiquée en rouge).
Le sinus d'un angle orienté de mesure est un nombre réel compris entre -1 et 1. Ici le plan est orienté dans le sens trigonométrique.
Le cercle unité est le cercle de rayon 1, centré à l'origine d'un système de coordonnées cartésiennes.
Considérons l'intersection entre une demi-droite issue de l'origine qui fait un angle de mesure avec le demi-axe , et le cercle unité. Alors la composante verticale de cette intersection est égale à . Cette définition coïncide avec la précédente quand est la mesure d'un angle saillant, orienté dans le sens positif, et on déduit celle-ci de la précédente en remarquant qu'un changement d'orientation de l'angle induit un changement de signe du sinus.
Il est possible de déterminer directement, à l'aide d'un déterminant, le sinus de l'angle orienté entre deux vecteurs dont on connait les coordonnées : pour et , on a :
Une telle égalité peut se démontrer si l'on considère comme acquise la formule trigonométrique du sinus d'une différence. Il suffit de poser
et de remarquer que
Fonction sinus vignette|upright=2|Animation montrant le graphique de y = sin(x) (où x est l'angle en radians) sur le cercle unité. Définitions À partir du cercle trigonométrique Si les angles orientés sont mesurés en radians, la fonction qui, au réel α, associe le sinus de l'angle orienté de mesure α radians est appelée la fonction sinus.
L'observation des propriétés géométriques des angles orientés permettent de déduire les identités (la fonction sinus est donc impaire), , et (la fonction sinus est donc périodique de période 2π).
La longueur d'une demi-période (dépliée) est égale à 3,8202···.
À partir des séries entières En analyse, la fonction se définit sur l'ensemble ℝ des nombres réels par une série dont on montre qu'elle converge sur tout ℝVoir par exemple . : .
Autrement dit, le sinus de est défini comme la partie imaginaire de la série exponentielle de : .
On montre également que cette définition coïncide avec la précédente lorsque le réel x représente la mesure d'un angle en radians.
La périodicité, la dérivabilité et la continuité s'établissent alors par la théorie des séries, de même que les formules d'Euler en analyse complexe reliant les fonctions trigonométriques à la fonction exponentielle, ainsi que l'identité d'Euler. Cette définition est souvent utilisée comme point de départ dans les traités rigoureux d'analyse et permet la définition du nombre .
La définition utilisant les séries permet de prolonger la fonction sinus en une fonction analytique dans tout le plan complexe.
Comme solution d'une équation différentielle La série entière précédente est l'unique solution du problème de Cauchy : , qui constitue donc une définition équivalente de la fonction sinus.
Propriétés Réciproque vignette|Représentation graphique de la fonction arc sinus. Les fonctions trigonométriques ne sont pas bijectives (ni même injectives, puisqu'elles sont périodiques) ; elles n'admettent donc pas de bijections réciproques. En les restreignant à certains intervalles de départ et d'arrivée, les fonctions trigonométriques peuvent réaliser des bijections.
L'application réciproque arcsin est définie par :
pour tous réels et :
si et seulement si .
La fonction est donc une bijection de sur et vérifie
et .
Dérivée La dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus :
Cette propriété est immédiate avec les définitions à partir des séries entières des fonctions sinus et cosinus. On en déduit en particulier que
On pourra également trouver une justification géométrique de cette limite (cf. § « Limites ») dans :
Intégrale Une primitive de est , ce qui s'écrit :
Autrement dit : pour tout , , où est la « constante d'intégration ».
Limites
. .
Valeurs particulières vignette|upright=2|Représentation graphique de la fonction sinus. Les valeurs figurant dans le tableau ci-dessous correspondent à des angles pour lesquels une expression à l'aide de racines carrées est possible, et plus précisément pour lesquels le théorème de Wantzel s'applique ; pour plus de détails, voir l'article Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques. x (angle) sin x = sin yy (angle supplémentaire)DegrésRadiansGrades Exacte DécimaleDegrésRadiansGrades 0° 0 rad 0g 0 0 180° rad 200g 15° rad 16g 0,258 819 045 102 521 165° rad 183g 18° rad 20g 0,309 016 994 374 947 162° rad 180g 30° rad 33g 0,5 150° rad 166g 36° rad 40g 0,587 785 252 292 473 144° rad 160g 45° rad 50g 0,707 106 781 186 548 135° rad 150g 54° rad 60g 0,809 016 994 374 947 126° rad 140g 60° rad 66g 0,866 025 403 784 439 120° rad 133g 72° rad 80g 0,951 056 516 295 154 108° rad 120g 75° rad 83g 0,965 925 826 289 068 105° rad 116g 90° rad 100g 1 1 90° rad 100g
Relation avec les nombres complexes