Loi de Planck

lang=fr|thumb|300px|Loi de Planck (courbes colorées), décrivant précisément l'émission énergétique du corps noir aux différentes températures thermodynamiques. Le modèle classique antérieur (loi de Rayleigh-Jeans), invalide aux petites longueurs d'onde, butait sur la catastrophe ultraviolette (courbe noire). La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique spectrale du rayonnement thermique du corps noir à l'équilibre thermique en fonction de sa température thermodynamique. La loi est nommée d'après le physicien allemand Max Planck, qui l'a formulée en 1900. C'est un résultat précurseur de la physique moderne et de la théorie quantique.

Formulation La luminance énergétique spectrale d'une surface est le flux énergétique émis par la surface par unité d'aire de la surface projetée, par unité d'angle solide, par unité spectrale (fréquence, longueur d'onde, période, nombre d'onde et leurs équivalents angulaires).

Planck a montré que la luminance énergétique spectrale d'un corps noir par unité de fréquence, en dans le Système international d'unités, s'exprime :

qu'on peut aussi exprimer par unité de longueur d'onde en , compte tenu des relations et :

où : est la fréquence du rayonnement du corps noir, en ; , avec la longueur d'onde du rayonnement du corps noir dans le vide et l'indice de réfraction du milieu, est la longueur d'onde du rayonnement du corps noir dans le milieu, en m ; = est la constante de Planck ; , avec c = la vitesse de la lumière dans le vide et n l'indice de réfraction du milieu, est la vitesse de propagation du rayonnement du corps noir dans le milieu ; = est la constante de Boltzmann ; est la température de la surface du corps noir, en K.

La loi peut être exprimée avec d'autres grandeurs, telles que l'exitance énergétique spectrale ou la densité volumique d'énergie spectrale qui sont proportionnelles à la luminance énergétique spectrale, en vertu de l'orthotropie de l'émission du corps noir (loi de Lambert).

Dans la limite des basses fréquences (c'est-à-dire des grandes longueurs d'onde), la loi de Planck tend vers la loi de Rayleigh-Jeans, tandis que dans la limite des hautes fréquences (c'est-à-dire des petites longueurs d'onde), elle tend vers la loi de Wien.

Planck a initialement développé sa loi uniquement avec des constantes empiriques, et a montré par la suite, que c'est la seule distribution d'énergie stable pour le rayonnement thermique à l'équilibre thermodynamique. Cette distribution d'énergie appartient à la famille des distributions à l'équilibre thermique, telles que la distribution de Bose-Einstein, la distribution de Fermi-Dirac et la distribution de Maxwell-Boltzmann. D'un point de vue strictement théorique, il ne faut la considérer que comme une application de la distribution de Bose-Einstein. Elle mérite tout de même sa place au classement, du fait à la fois de son antériorité, du génie de la démarche et de son apport historique (et pas uniquement pour la physique statistique) et de sa large diffusion (car très utile en thermique, et cela même pour l'étude d'un système à l'échelle macroscopique).

La longueur d'onde maximisant l'émission dépend de la température mais son produit avec la température est constant (loi du déplacement de Wien) :

et

L'exitance énergétique d'un corps noir, en , s'obtient par intégration de l'exitance énergétique spectrale, fournie par la loi de Planck, sur l'ensemble du spectre (loi de Stefan-Boltzmann) :

où = est la constante de Stefan-Boltzmann.

Introduction

La loi de Planck décrit la répartition de l'énergie électromagnétique (ou la répartition de la densité de photons) rayonnée par un corps noir à une température donnée, en fonction de la longueur d'onde. La loi de Planck est présentée sous différentes variantes, qui emploient des grandeurs telles que l'intensité, la densité de flux ou bien la répartition spectrale. Toutes ces formes des différentes grandeurs de rayonnement sont des formes différentes de la loi de Planck.

À la fin du , les physiciens essayaient de comprendre le spectre du rayonnement des corps noirs en se fondant sur la physique classique, la physique statistique et l'électrodynamique classique. Des hypothèses contradictoires (loi de Wien, loi de Rayleigh-Jeans) et une concordance seulement partielle avec les résultats expérimentaux conduisirent à une situation non satisfaisante. C'est Max Planck qui, à la fin du siècle, réussit à trouver une loi de rayonnement complètement en accord avec les mesures expérimentales. Outre l'importance pratique du corps noir, la découverte de la loi de Planck en 1900 signe la naissance de la mécanique quantique : pour expliquer sa loi trouvée de manière empirique, Planck a dû supposer que la lumière (et donc le rayonnement électromagnétique en général) n'était pas absorbée et émise de manière continue, mais uniquement de manière discrète. Cette quantification de l'énergie sera à l'origine de l'article de 1905 d'Albert Einstein sur l'effet photoélectrique, mais Planck ne considère ces éléments d'énergie que comme des artefacts de calculs, car il ne croit pas à l'hypothèse atomiste.

D'après la loi du rayonnement de Kirchhoff, la capacité d'absorption et la capacité d'émission de rayonnement thermique d'un corps sont proportionnels pour toutes les longueurs d'onde. Un corps noir est un corps hypothétique qui absorbe tout le rayonnement qu'il reçoit, quelle que soit la longueur d'onde. Comme sa capacité d'absorption prend la plus grande valeur possible quelle que soit la longueur d'onde, sa capacité d'émission prend également la plus grande valeur possible. Un corps réel ne peut pas émettre plus de rayonnement thermique qu'un corps noir, car celui-ci représente une source de rayonnement thermique idéale. Comme son spectre ne dépend d'aucun autre paramètre que de la température (en particulier, il ne dépend pas des propriétés du matériau), le corps noir est une source de référence utilisée dans de nombreux cas.

Description Comme la loi de Planck est valable dans de nombreux contextes différents, elle s'exprime sous différentes formes, toutes dérivées les unes des autres. Pour comprendre ces différentes formes de la loi de Planck, nous allons d'abord énoncer les grandeurs qui apparaissent dans les différentes formules.

Comme il est d'usage pour les grandeurs radiométriques, différentes grandeurs de rayonnement peuvent être utilisées pour décrire le spectre du rayonnement d'un corps noir. Les dénominations et symboles utilisés ici suivent la norme ISO 9288 (1989). L'exposant « ° » indique que la grandeur en question décrit spécifiquement les propriétés d'un corps noir.

On différencie : les grandeurs spectrales, qui décrivent la dépendance à la fréquence (ou à la longueur d'onde) de manière explicite, les grandeurs totales, intégrées sur l'ensemble des fréquences (ou des longueurs d'onde) ;

ainsi que les grandeurs directionnelles, qui décrivent la dépendance à la direction de manière explicite, les grandeurs hémisphériques, intégrées sur toutes les directions de l'hémisphère.

Luminance énergétique spectrale La luminance énergétique spectrale d'un corps noir à la température absolue T vaut selon la fréquence :

Unité SI de : ; selon la longueur d'onde :

Unité SI de : .

est la puissance rayonnée par un élément de surface dA dans le domaine de fréquences entre ν et ν + dν, dans l’élément d'angle solide dΩ délimité par les angles azimutaux φ et φ + dφ ainsi que les angles d'ascension polaires β et β + dβ ; h est la constante de Planck, c est la célérité de la lumière dans le vide et k est la constante de Boltzmann. Le facteur cos(β) prend en compte le fait que, pour le rayonnement dans une direction indiquée par φ et β, seule la projection orthogonale à cette direction cos(β) dA de la surface dA est prise en compte comme surface rayonnante effective.

La luminance énergétique spectrale doit être indépendante de la direction pour des raisons thermodynamiquesJustification : quand un corps noir est soumis au rayonnement à l'intérieur d'une cavité à rayonnement isotrope de même température, il absorbe entièrement le rayonnement incident, mais doit remplacer le rayonnement absorbé par un rayonnement émis par lui-même pour conserver l'équilibre thermique. La luminance énergétique spectrale du rayonnement de la cavité doit être indépendante de la direction à l'équilibre, et comme le rayonnement émis par le corps noir a la même luminance, elle est également indépendante de la direction..

Le corps noir rayonne de manière totalement diffuse, et suit le modèle du rayonnement de Lambert.

Lors du passage entre la représentation fréquentielle et la représentation en longueur d'onde, comme , on a les relations :

La luminance énergétique spectrale est, comme son nom l'indique, une grandeur spectrale.

Exitance énergétique spectrale En intégrant la luminance énergétique spectrale suivant toutes les directions de l'hémisphère dans lequel rayonne l'élément de surface étudié, on obtient l'exitanceLa Commission internationale de l'éclairage recommande l'appellation « exitance » au lieu d'« émittance ». énergétique spectrale . Il vient :

soit : selon la fréquence :

Unité SI de : ; selon la longueur d'onde :

Unité SI de : .

est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA dans le domaine de fréquences entre ν et ν + dν dans le demi-espace. L'exitance énergétique spectrale est une grandeur spectrale hémisphérique.

Luminance énergétique En intégrant la luminance énergétique spectrale non pas sur les directions mais sur les fréquences, on obtient la luminance énergétique (totale) , telle que :

Comme , le calcul de l'intégrale donne :

Unité SI de : .

est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA sur toutes les fréquences dans l'angle solide dans la direction donnée par β.

La luminance énergétique est une grandeur totale directionnelle.

Exitance énergétique, densité de flux radiatif, loi de Stefan-Boltzmann

En intégrant l'exitance énergétique spectrale sur toutes les fréquences ou bien la luminance énergétique sur toutes les directions de l'hémisphère, on obtient l'exitance énergétique (ou densité de flux radiatif) , telle que :

soit :

Unité SI de : , avec la constante de Stefan-Boltzmann :

est la puissance rayonnée par l'élément de surface dA sur toutes les fréquences dans l'hémisphère.

L'exitance énergétique est une grandeur totale hémisphérique.

Flux radiatif En intégrant l'exitance énergétique (densité de flux radiatif), sur l'ensemble de la surface rayonnante d'aire A, on obtient le flux radiatif (ou puissance rayonnée) de cette surface , pour laquelle :

soit :

Unité SI de : W.

est la puissance rayonnée par l'ensemble de la surface sur toutes les fréquences et dans l'hémisphère.

Densité spectrale d'énergie du rayonnement d'une cavité à rayonnement isotrope Considérons une cavité fermée dont les parois sont composées d'un matériau quelconque et maintenues à la température T. À l'équilibre thermique, la cavité est emplie d'un rayonnement thermique isotrope, dont les caractéristiques ne dépendent que de la température T, et qui a donc un caractère universel.

En insérant un corps noir dans cette cavité, le rayonnement de la cavité doit redevenir identique après avoir atteint l'équilibre thermique, puisque le rayonnement ne dépend que de la température T. Comme le corps noir absorbe une certaine quantité de rayonnement et doit en émettre la même quantité au même moment pour garantir l'équilibre, les luminances énergétiques spectrales de la cavité et le rayonnement du corps noir doivent être identiques. Les expressions des grandeurs obtenues ci-dessus sont donc également valables pour le rayonnement de la cavité, et celui-ci a une énergie volumique de rayonnement constante, comme nous allons le voir.