Sophie Germain, née le à Paris et morte le dans l'ancien de Paris, est une mathématicienne, physicienne et philosophe française.
Pour pouvoir se faire connaître dans le monde des mathématiques, alors réservées aux hommes, elle utilise de 1794 à 1807 un nom d’emprunt : Antoine Auguste Le Blanc. C'est sous ce nom qu'elle correspond tout d'abord avec les mathématiciens Carl Friedrich Gauss et Adrien-Marie Legendre, avant d'être reconnue en tant que femme et mathématicienne de premier plan dans le monde académique, bien qu'elle ait appris les mathématiques entièrement en autodidacte.
Ses principaux travaux concernent le problème des surfaces vibrantes, pour lequel elle obtient le grand prix des sciences mathématiques en 1815. Elle s'est également intéressée à la démonstration du dernier théorème de Fermat, et a obtenu des résultats intermédiaires comme le théorème de Sophie Germain. Ses travaux concernent également l'élasticité des corps.
Formation Cadre familial Marie-Sophie Germain naît le rue Saint-Denis à Paris. au sein d’une famille bourgeoise, aisée et cultivée, un milieu social qui jouera les premiers rôles à cette époque pré-révolutionnaire. Elle est la deuxième fille d’Ambroise-François Germain (1726–1821), commerçant en soie et tissus et de son épouse Marie-Madeleine Gruguelu. La bibliothèque d’Ambroise-François Germain compte plusieurs écrits mathématiques, dont le Cours de mathématiques à l’usage des gardes du pavillon et de la marine (1766). d’Étienne Bézout et l’Histoire des mathématiques (1758). de Jean-Étienne Montucla..
Édités entre 1751 et 1772, les volumes de l’Encyclopédie du mathématicien Jean Le Rond d’Alembert et du philosophe Denis Diderot stimulent l’engagement politique d’Ambroise-François Germain, qui le conduira jusqu’aux bancs de l’Assemblée constituante de 1789, où il siégera comme député du Tiers état jusqu’en ..
Étude des mathématiques En 1789, à l’âge de treize ans, la vie de Sophie Germain est marquée par l’atmosphère de son époque, au moins sur trois points. D’une part, elle appartient à une famille cultivée, libérale et aisée, qui lui permet d’avoir accès aux textes mathématiques et physiques les plus récents. D’autre part, avec l’agitation révolutionnaire puis la Terreur , elle sort de moins en moins du domicile familial, ce qui l’encourage à étudier. Enfin, sa condition de femme constitue un frein terrible à sa vocation de mathématicienne, frein contre lequel elle devra lutter toute sa vie.
En lisant l’ouvrage de Montucla, Sophie Germain est, semble-t-il, frappée par l’histoire d’Archimède de Syracuse, et particulièrement par les circonstances de sa mort. Elle se forme aux mathématiques en autodidacte. Grâce à la lecture de l’ouvrage de Bézout, elle apprend la théorie des nombres, puis elle se plonge dans l’étude d’autres textes, dont Leçons de calcul différentiel et de calcul intégral du mathématicien Jacques Antoine Joseph Cousin. Exprimant sa force de caractère et sa soif de connaissance, elle décide d’apprendre le latin et le grec et réussit rapidement à maîtriser ces langues généralement utilisées à cette époque pour la diffusion des sciences, tout particulièrement le latin. Après cela, elle peut s’attaquer à la lecture des ouvrages d’Isaac Newton et de Leonhard Euler, considérés alors, avec Carl Friedrich Gauss, comme les plus illustres mathématiciens..
Son père tente tout d’abord de la dissuader de se tourner vers une profession « masculine » en confisquant les chandelles qu’elle utilise pour étudier la nuit. Devant sa détermination, il accepte finalement de la soutenir moralement et financièrement. Plus tard, Sophie Germain peut se consacrer corps et âme à sa passion des mathématiques, en partie grâce au soutien de ses deux sœurs. Leurs mariages participent à l’amélioration de la situation financière de la famille, qui au demeurant n’a jamais été mauvaise. Ainsi, Sophie Germain n’a pas besoin de travailler pour vivre. Sa sœur aînée, Marie-Madeleine, épouse un notaire, Charles Lherbette. Sa plus jeune sœur, Angélique-Ambroise, se marie à deux reprises avec des médecins. Le premier, René-Claude Geoffroy, comptait de riches patients, ce qui assura au couple une position très confortable. Le second sera Henri du Trochet (ou Dutrochet). Sophie Germain et ses parents profitent de la bonne fortune des deux sœurs.
À partir de 1794, elle se procure les cours de l’École polytechnique, réservée aux hommes, et communique avec Joseph-Louis Lagrange, professeur à Polytechnique. Il est communément admis.. qu'elle aurait emprunté pour ce faire le nom d'un ancien élève, Antoine Auguste Le Blanc, bien que certains historiens et biographes de Sophie Germain, s'appuyant sur les archives de l'École polytechnique et de l'École des ponts et chaussées, aient trouvé trace d'un Antoine Augustin Leblanc (ou Le Blanc), présent à l'École de 1794 à 1797, et émettent l'hypothèse qu'il aurait pu déposer lui-même les papiers de Sophie Germain.., p. 11.. À cette époque, les professeurs, à la fin de leurs cours, ont l’habitude d’engager les élèves à leur présenter des observations par écrit. Sous le nom de , elle envoie ses remarques à Joseph-Louis Lagrange qui, impressionné par la complexité et la rigueur de ses analyses, finit par découvrir la supercherie en la convoquant.. Il devient l’ami et le mentor de la jeune fille..
Après cette rencontre, Sophie Germain acquiert une petite notoriété au sein du cercle des scientifiques parisiens. Le mathématicien écrivain Cousin se propose d’organiser une rencontre et offre de mettre à sa disposition tous les moyens qu’il possède, notamment sa vaste bibliothèque, pour qu’elle puisse s’adonner à la pratique de sa passion. À la fin du , Sophie Germain n’est toujours ni mariée ni fiancée. Sa famille renonce à lui faire épouser un bon parti et la soutient financièrement..
Recherches mathématiques Théorie des nombres Sophie Germain commence à étudier la théorie des nombres dans le Cours de mathématiques à l’usage des gardes du pavillon et de la marine d’Étienne Bézout, qui offre une vue d’ensemble des mathématiques de l’époque. Mais cette première approche n’est que superficielle. Son intérêt pour cette branche des mathématiques n’est véritablement éveillé que par la publication, en 1798, de lEssai sur la théorie des nombres d’Adrien-Marie Legendre. Elle se procure l’un des premiers exemplaires de cet ouvrage, commence à le lire et à l’étudier, et établit une relation épistolaire fructueuse avec son auteur. Elle connaît sur le bout des doigts les équations diophantiennes et les nombres premiers grâce à ses lectures..
En 1801, Legendre invite Sophie Germain à lire les de Carl Friedrich Gauss, tout juste publiées. Elle se plonge dans leur lecture, approfondit tout ce qui s’y trouve et adresse à Gauss un premier courrier volumineux , le , signé du pseudonyme , où elle aborde principalement deux sujets : le développement qui apparaît dans le dernier chapitre des et une tentative révolutionnaire d’affronter le dernier théorème de Fermat, par le théorème qui porte son nom. Quand Gauss lui propose trois théorèmes dont il ne détaille pas la démonstration, elle parvient à les trouver en moins d’un mois. Presque toute leur correspondance a trait à la théorie des nombres , et la plupart de leurs discussions portent sur des formules ou des développements liés à l’arithmétique modulaire, ou sur les propriétés des nombres entiers..
En 1806, Napoléon envahit la Prusse et Brunswick, la ville natale de Gauss. Sophie Germain, craignant alors pour la vie de son ami, demande au général Pernety, qu’elle connaît personnellement, de veiller à la sécurité de Gauss. Le général explique alors à Gauss que Germain lui a demandé de le protéger. De ce fait, elle est obligée d’avouer sa véritable identité., ce à quoi Gauss répond (lettre du Texte complet de cette lettre, in .) : Depuis près de soixante-dix ans aucun progrès véritable n’a été accompli pour résoudre le dernier théorème de Fermat. Le lancement d’un prix, en 1816, par l’Académie semble donc sensé. Au début du , l’exactitude du dernier théorème de Fermat a été démontrée pour n=3 et n=4. Ces deux valeurs sont dites , puisque si un multiple d’un nombre n vérifie l'égalité alors n la vérifie aussi. Sophie Germain en profite pour renouer avec la théorie des nombres, qu’elle affectionne et avait délaissée depuis huit ans pour le problème des plaques vibrantes, mais il n’existe aucune preuve de son intérêt pour ce concours. En outre, elle ne soumet aucun mémoire aux dates limites fixées par l’Académie, une première fois le , une seconde le … sans succès ; à la suite de quoi l'institution annule le prix.
Il semble évident que Sophie Germain saisit cette occasion pour se pencher à nouveau sur le théorème de Fermat et même reprendre sa correspondance avec Gauss, après dix ans de silence. Dans une lettre de , elle informe le savant allemand qu’elle étudie le dernier théorème de Fermat. Heureusement, Legendre accorde une grande attention aux efforts qu’elle déploie pour résoudre le théorème, et pour la première fois elle travaille avec un confrère dans une relation d’égal à égal. Elle est la première à essayer d’élaborer une méthode valable pour une infinité de nombres premiers, même si une infinité d’autres nombres premiers sont laissés de côté. Elle expose le concept de dans la première des deux lettres qu’elle adresse à Gauss. Une de ses contributions majeures est le théorème de Sophie Germain, qui énonce une condition suffisante, portant sur un nombre premier, p, pour que, si trois entiers relatifs x, y, et z forment une solution de l’équation xp + yp = zp, alors l’un au moins des trois soit divisible par le carré de p. Cette condition est vraie en particulier pour tout nombre premier de Sophie Germain, et Sophie Germain vérifie qu’elle l’est aussi pour tout nombre premier inférieur à 100.
Sa preuve du théorème, qu’elle décrit dans une lettre à Gauss, est relativement importante, car elle permet de réduire le nombre de solutions du dernier théorème de Fermat. En fin de compte, sa méthode se révèle juste, tout au moins pour tous les nombres premiers inférieurs à 100. Et Legendre parvient à l’étendre à tous les nombres premiers jusqu’à 197. Sophie Germain ne publiera jamais le théorème qui porte son nom, c’est Legendre qui s’en chargera.. Divers théorèmes de Sophie Germain sont insérés par Legendre dans le supplément à la deuxième édition de sa Théorie des nombres.
Problème des plaques vibrantes