En mathématiques, la formule conducteur-discriminant, introduite par Hasse pour les extensions abéliennes et par Artin pour les extensions de Galois, est une formule calculant le discriminant relatif d'une extension (de Galois finie) de corps locaux ou globaux à partir des conducteurs d'Artin des caractères irréductibles du groupe de Galois .
Déclaration Soit une extension (galoisienne finie) de corps globaux avec groupe de Galois . Alors le discriminant est égal à
où est le conducteur d'Artin .
Exemple Soit une extension cyclotomique des nombres rationnels. On peut montrer que le groupe de Galois associé est isomorphe à . Comme est le seul premier fini ramifié, le conducteur d'Artin global est égal à celui local . Comme est ablien, tout caractère non-trivial et irréductible est de degré . Alors, le conducteur local d'Artin de est égal au conducteur de la complétion -adique de , c'est-à-dire , où n est l'entier naturel le plus petit tel que Si , alors le groupe de Galois est cyclique d'ordre , et par la théorie des corps de classe et , on voit aisément que si factorise par un caractère primitif de , alors et donc comme il y a caractères primitifs de , on obtient la formule .
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Théorie algébrique des nombres