L'indice de Maslov est un invariant à valeurs entières en géométrie symplectique, en analyse microlocale et en analyse semi-classique. Il est classiquement associé à une boucle ou un chemin de sous-espaces lagrangiens dans un espace vectoriel symplectique, et mesure la manière dont ce chemin rencontre une hypersurface singulière distinguée appelée cycle de Maslov. De manière informelle, il enregistre l'enroulement d'une famille de sous-espaces lagrangiens par rapport au lieu des sous-espaces qui ne sont pas transverses à un sous-espace lagrangien de référence choisi..
L'indice de Maslov a été introduit dans le cadre des méthodes asymptotiques en physique mathématique, avant d'être reformulé par la suite en termes topologiques et géométriques. Il joue un rôle important dans la théorie des opérateurs intégraux de Fourier, la quantification géométrique, les systèmes hamiltoniens, la théorie spectrale et l'homologie de Floer.
Aperçu Soit un espace vectoriel symplectique de dimension finie, et soit désigne sa grassmannienne lagrangienne, la variété de tous les sous-espaces lagrangiens de . La topologie de est non triviale : son groupe fondamental est isomorphe à . L'indice de Maslov peut être vu comme l'invariant d'homotopie correspondant, attribuant un entier à une boucle dans la grassmannienne lagrangienne.
De manière équivalente, après avoir fixé un sous-espace lagrangien de référence on considère le cycle de Maslov
Il s'agit d'une hypersurface singulière dans . Pour un chemin générique de sous-espaces lagrangiens, l'indice de Maslov compte, avec des signes, les intersections du chemin avec .
Propriétés fondamentales L'indice de Maslov satisfait plusieurs propriétés formelles.
Invariance d'homotopie : elle reste inchangée par homotopie à travers des chemins ayant des extrémités admissibles fixées. Additivité sous concaténation : si deux chemins peuvent être concaténés, l'indice de Maslov du chemin concaténé est la somme des indices. Naturalité : les automorphismes symplectiques préservent l'indice de Maslov. Propriété de somme directe : pour les espaces symplectiques produits, l'indice de Maslov est additif sous les sommes directes de chemins. Normalisation : un générateur de possède l'indice de Maslov ou , selon les conventions.
Exemple en dimension basse Dans le plan symplectique standard Tout sous-espace unidimensionnel est lagrangien, donc la grassmannienne lagrangienne peut être identifiée à la droite projective réelle . Un chemin de lignes lagrangiennes est donc un chemin de lignes non orientées passant par l'origine.
En fixant l'axe horizontal comme référence, le cycle de Maslov se réduit au seul point représenté par cet axe. L'indice de Maslov d'une boucle générique compte alors, avec un signe et une normalisation appropriés, le nombre de fois où la droite mobile passe par la direction horizontale. En cette dimension, l'indice de Maslov est étroitement lié au nombre d'enroulement.
Applications
Optique géométrique et caustiques En optique géométrique, l'équation eikonale détermine une sous-variété lagrangienne . Loin des caustiques, la projection est localement un difféomorphisme, donc peut être écrit localement comme le graphe de , et on obtient une solution WKB de la forme Une caustique se produit lorsque cette projection cesse d'être régulière, de sorte que la description monophasée n'est plus valable.
En coordonnées de rayon, l'amplitude contient un facteur jacobien qui devient singulier au niveau d'une caustique. Au voisinage d'une caustique de pli générique, le modèle local est donné par la fonction d'Airy. Son comportement asymptotique oscillatoire, afficher le déphasage codé globalement par l'indice de Maslov.
Analyse semi-classique L'indice de Maslov apparaît dans la théorie WKB et les approximations semi-classiques associées comme une correction de phase. Lorsqu'une solution oscillatoire traverse une caustique, la phase subit un saut d'un multiple de . Cette correction est codée par l'indice de Maslov.
C’est pourquoi l’invariant est fondamental dans l’étude asymptotique de la propagation des ondes, des opérateurs intégraux de Fourier et des conditions de quantification en mécanique classique et quantique.
Références
Catégorie:Physique mathématique Catégorie:Topologie différentielle Catégorie:Géométrie symplectique