En algèbre, une puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée de ce nombre par lui-même. Elle est souvent notée en assortissant le nombre d'un entier, typographié en exposant, qui indique le nombre de fois qu'apparaît le nombre comme facteur dans cette multiplication.
Elle se lit « puissance n-ième de » ou « exposant » ou encore « puissance ». L'entier est appelé exposant, et l'entier est appelé base.
En particulier, le carré et le cube sont des puissances d'exposant 2 et 3 respectivement.
Tout nombre est égal à sa propre puissance d'exposant 1, tandis que toute puissance d'exposant nul vaut 1 par convention.
Pour chaque exposant, la puissance définit donc une opération, dont la notation est prioritaire sur les autres symboles d'opérations algébriques élémentaires. L'opération binaire associée est l'exponentiation, qui se note parfois à l'aide du symbole « ^ », notamment sur les calculatrices. On trouve aussi le symbole ** dans certains langages de programmation (par exemple Python ou Ada)
Lorsqu'un nombre possède un inverse, il est possible de définir ses puissances d'exposant négatif comme les puissances de cet inverse. Sous certaines conditions, il est même possible de définir des puissances d'exposant rationnel comme 1/2, qui correspond à la racine carrée pour les réels positifs. La fonction exponentielle permet ensuite d'étendre cette définition aux exposants réels ou complexes.
Les opérations algébriques sur les puissances d'un nombre ou de plusieurs possèdent des propriétés particulières. Les puissances de dix, comme 10−5, sont d'une utilisation régulière dans les autres sciences, notamment en physique et en chimie.
Puissance d'exposant entier positif Définition On considère un nombre quelconque et un entier naturel non nul. La puissance -ième de , notée et lue « puissance » Voir, par exemple, ce document d'Eduscol sur la présentation des puissances en cycle 4, chap. Introduire les puissances de dix., ou « exposant » est le produit de facteurs tous égaux à :
Quand (un seul facteur) :
Le nombre est appelé l'exposant de la puissance .
Le nombre est un entier naturel (donc positif) et est une puissance à exposant entier positif de .
Cas particuliers on appelle la puissance carrée ou le carré de ; on appelle la puissance cubique ou le cube de . quel que soit l'entier naturel n non nul, 0 = 0 et 1 = 1 (ces nombres sont idempotents).
Premières propriétés Par définition de la puissance n-ième, et en utilisant les propriétés de la multiplication, il vient que :
.
Puissance d'exposant nul
La première des propriétés ci-dessus conduit à une généralisation naturelle de la puissance d'un nombre réel non nul à l'exposant 0 :
En effet, on a bien alors que :
Le cas est moins clair. Une convention possible est de poser . Elle est cohérente avec les propriétés algébriques énoncées ci-dessus, et a d'autres justifications (voir l'article détaillé).
Cependant, l'application , bien définie sur , n'admet pas de prolongement par continuité en (0, 0), ce qui interdit le choix d'une convention acceptable en toute généralité. Néanmoins des conventions sont possibles, limitées à des domaines bien définis..
Puissance d'exposant entier négatif On considère maintenant un nombre non nul et un entier naturel non nul. Par définition de la puissance n-ième et en notant l'inverse de : pour ; pour ; etc. En particulier :
Il est donc naturel de définir le nombre a–n, lu « a puissance moins n », ou « a exposant moins n », comme la puissance n-ième de l'inverse de qui est aussi l'inverse de la puissance n-ième de :
En particulier, .
Le nombre est l'exposant de la puissance , étant négatif, est une puissance de à exposant négatif.
La puissance n-ième d'un nombre non nul se généralise donc à n'importe quel exposant entier relatif.
On déduit de la définition d'une puissance négative que pour tout exposant entier relatif :
En particulier pour un entier naturel :
Signe de l'exposant entier et signe du nombre La puissance n-ième d'un nombre positif est toujours positive. Le signe de la puissance n-ième d'un nombre réel négatif dépend de la parité de l'exposant entier relatif .
une puissance paire d'un nombre réel négatif est un nombre positif : si est un entier relatif pair, et un réel positif alors ; une puissance impaire d'un nombre réel négatif est un nombre négatif : si est un entier relatif impair, et un réel positif alors . Exemples (–2), puissance cubique de –2, vaut (–2)×(–2)×(–2) = –8 < 0. 3, l'inverse de la puissance quatrième de 3, vaut .
Remarque. Par convention sur les priorités des opérations, : la puissance s'applique à uniquement. Pour élever à la puissance , il est nécessaire de parenthéser en écrivant :
Opérations algébriques sur les puissances entières Pour tous nombres et et pour tous entiers relatifs et :
. Ces formules sont cohérentes entre elles et avec la convention « pour tout nombre réel ». Par exemple, pour tout entier naturel et pour tout réel ,
Certaines identités remarquables comme la factorisation de ou la Formule du binôme de Newton associent puissance et addition ou soustraction.
En général ; de ce fait, l'écriture est ambiguë et, bien qu'il existe une convention qui favorise la désambiguïsation , celle-ci devrait être évitée sans parenthésage univoque.
Puissances de dix
Les puissances de 10 sont des cas particuliers de puissance. Leur intérêt réside dans le fait que le système de numération le plus couramment utilisé est décimal. Les propriétés énoncées sur les puissances de a restent valables pour les puissances de 10.
+ Table des puissances de dix Puissance de dixnégatives ou nulle Préfixe Puissance de dixpositives ou nulle Préfixe 10 = 1 - 10 = 1 - 10 = 0,1 d (déci-) 10 = 10 da (déca-) 10 = 0,01 c (centi-) 10 = 100 h (hecto-) 10 = 0,001 m (milli-) 10 = k (kilo-) 10 = 10 = ma (myria-) 10 = - 10 = - 10 = µ (micro-) 10 = M (méga-) etc. etc. etc. etc. Le nombre 10 élevé à une puissance entière positive n est un chiffre 1 suivi de n zéros.
Le nombre 10 élevé à une puissance entière négative –n est un 1 placé à la n-ième position dans un nombre décimal, précédé de n zéros en comptant celui avant la virgule.
On utilise fréquemment les puissances multiples de 3, qui correspondent aux préfixes du Système international d'unités : + Table des puissances de dix multiples de trois Puissance de dixnégatives Préfixe SI Puissance de dixpositives Préfixe SI 10 = 0,001un millième m (milli-) 10 = mille k (kilo-) 10 = un millionième µ (micro-) 10 = un million M (méga-) 10 = un milliardième n (nano-) 10 = un milliard G (giga-) 10 = un millième de milliardième p (pico-) 10 = mille milliards T (téra-) etc. etc. etc. etc.
Si la virgule signale la position des unités dans l'écriture d'un nombre décimal, multiplier par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la droite et diviser par 10 revient à déplacer la virgule d'un rang vers la gauche. Donc multiplier par 10n pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la droite ; diviser par 10n pour tout entier positif n revient à déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Ainsi, 325,72 × 10 = 325,72/10 = 32,572 325,72 × 10 = 325,72/10 =
L'utilisation des puissances de 10 intervient : dans l'écriture explicite en base 10 : 325,72 = 3·10 + 2·10 + 5·10 + 7·10 + 2·10 ; dans l'écriture scientifique des nombres décimaux : 325,72 est noté où le nombre est écrit comme le produit d'un nombre, appelé mantisse, compris entre 1 et 10 (strictement inférieur à 10), avec une puissance entière de 10 appelée exposant ; et dans la notation ingénieur : 325,72 est noté 325,72 est noté 32,572 où le nombre est écrit comme produit d'un nombre compris entre 1 et 999 compris, avec une puissance de 10 dont l'exposant est un multiple de 3. Les puissances de 10 sont également utiles dans la recherche, ou la vérification, d'ordres de grandeur. Ainsi, par exemple, 29967/274 est de l'ordre de grandeur de 100Précisément : 29967/274 = 109,368..., car le numérateur est proche de 3 et le dénominateur proche de 3, donc leur rapport est de l'ordre de (3) / (3) = 100.
Généralisation aux puissances à exposant réel
On peut aussi élever un nombre strictement positif à une puissance à exposant réel quelconque.
Pour cela, on peut définir successivement : d'abord des puissances fractionnaires simples : = , où est un entier, qui coïncident avec les racines -ièmes pour tout . Voir racine carrée, racine cubique et racine d'un nombre ; puis des puissances fractionnaires composées : ; et enfin, par continuité, des puissances à exposant réel quelconque : peut ainsi être défini pour tout réel et tout .
Pour un nombre donné, la fonction ainsi obtenue est appelée fonction exponentielle de base a. Elle peut s'exprimer à l'aide des seules fonctions logarithme népérien et exponentielle :
Ces puissances fractionnaires et réelles répondent aux mêmes règles que les puissances entières. Notamment, pour tous , et réels quelconques :
On a en particulier : pour tout entier non nul ; si est entier non nul ; si est entier non nul. Exemple Soit à trouver l'aire d'un cube de volume .
En notant la longueur d'une arête, on a . Donc . Or, , donc .
D'après ce qui précède, on peut donc réécrire plus élégamment : .
Erreurs fréquentes On n'a généralement pas . Par exemple : .
Dans tout ce qui précède, il est crucial de vérifier que l'on a . Par exemple, avec , on a : .
Notes et références
Voir aussi Gogolplex
Notation des puissances itérées de Knuth Sommes de puissances
Catégorie:Opération
ar:أس en:Exponentiation nl:Machtsverheffing pl:Potęga