thumb|Représentation schématique de l'espace de Minkowski, qui montre seulement deux des trois dimensions spatiales.
En géométrie et en relativité restreinte, l'espace de Minkowski du nom de son inventeur Hermann Minkowski, appelé aussi l'espace-temps de MinkowskiRoger Penrose, The road to reality, Vintage books edition, 2007. p404-412. ou parfois l'espace-temps de Poincaré-Minkowski, est un espace mathématique, et plus précisément un espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte : les propriétés géométriques de cet espace correspondent à des propriétés physiques présentes dans cette théorie.
La physique classique est également géométrisée, et ce depuis Isaac Newton, voire avant ; l'intérêt de cette géométrisation de la relativité restreinte est dans le fait que le temps lui-même y est représenté comme indissociablement lié à l'espace matériel, que les propriétés abstraites de la relativité restreinte y trouvent une représentation proche de la géométrie euclidienne, et que cela a aidé à la formulation de la relativité générale.
En géométrie lorentzienne, l'espace-temps de Minkowski est, avec l'espace-temps de de Sitter et l'espace-temps anti de Sitter, une des trois variétés à symétrie maximale. En relativité générale, il est une solution de l'équation d'Einstein pour le vide et en l'absence de constante cosmologique.
Historique Cet espace a été introduit par Henri Poincaré dans un long article, connu comme le Mémoire de Palerme, soumis le aux et publié en , soit deux ans avant les publications de Hermann Minkowski sur ce sujet. La primeur de la découverte est un sujet à débats, mais il semble, d'après certains historiens des sciences, que l'interprétation moderne de cet espace comme espace-temps physique, et non pas convention calculatoire, est une idée de Minkowski, qui abandonna l'éther électromagnétique, à la suite d'Einstein, alors que Poincaré n'y renonça jamais vraiment, considérant que dans un référentiel quelconque les quantités mesurées sont toujours « apparentes », alors que les quantités « réelles » sont mesurées dans le référentiel de l’éther Henri Poincaré et l’espace-temps conventionnel par Scott A. Walter, de l'université de Nantes et le Centre François Viète (EA 1161)..
Poincaré aurait proposé cet espace comme une présentation algébrique et géométrique possible, pratique d'un point de vue calculatoire, mais axiomatique, c'est-à-dire conventionnelle, des propriétés mathématiques liées au principe de relativité et à l'invariance des équations de Maxwell par changement de référentiel inertiel, en privilégiant de manière conventionnelle comme réel le référentiel de l'éther, c'est-à-dire un espace réel qui serait classique. Seul Hermann Minkowski aurait vu dès 1907 que cet espace était un modèle expérimentable (et pas seulement conventionnel) d'un espace-temps où espace et temps sont liés dans les lois de la mécanique et y développa, entre autres, les conditions de la causalité et de la simultanéité suivant le référentiel de l'observateur. Poincaré se rapprochera de ce point de vue en 1912, dans sa dernière conférence intitulée L'espace et le temps prononcée à Londres, où il exprimera que l'on peut définir un espace-temps à partir du groupe de symétrie des lois de la physique, en posant cette fois le principe de relativité comme une convention.
Structure algébrique L'espace-temps de Minkowski peut être défini comme le quadruplet où : , notant l'espace-temps, est un espace affine de dimension quatre sur d'espace vectoriel associé isomorphe, , notant le tenseur métrique, est une forme bilinéaire sur , symétrique, non dégénérée et de signature (−,+,+,+) ou (+,-,-,-), , notant la nappe du futur, est une des deux nappes du cône isotrope de , , notant le tenseur de Levi-Civita associé à , est une forme quatrilinéaire sur , antisymétrique et donnant lorsque appliquée à une quelconque base orthonormale de .
L'espace-temps de Minkowski, noté , est un espace affine réel de dimension quatre. Il correspond à la donnée d'un point O (l'origine du repère) et d'un espace vectoriel (dit associé) de dimension quatre (sur ).
Cette structure est complétée par la donnée, sur l'espace vectoriel associé, d'une forme bilinéaire, notée , qui est symétrique et non dégénérée. Également notée ou , qui n'est pas un produit scalaire car elle n'est pas définie positive (ni définie négative) : on suppose qu'il existe une base vectorielle telle que Avec la signature , où .
Comme pour toute forme bilinéaire, il lui correspond une forme quadratique (qui est le carré de la pseudo-norme) :
La matrice associée à cette forme bilinéaire, dans la base considérée ci-dessus, est , on a donc , en écriture matricielle. L'écriture tensorielle permet d'introduire la convention de sommation d'Einstein : en définissant les « coordonnées contravariantes » et les « coordonnées covariantes » , on écrit alors
Dans l'espace affine, les coordonnées d'un point M sont notées . Il est doté d'une distance particulièreElle ne répond pas à la définition mathématique de distance, mais joue un rôle similaire à la distance dans un espace affine euclidien. souvent appelée pseudo-métrique, définie dans le repère par . Ce que l'on note plus simplement quand il n'y a pas de risque de confusion entre cette forme bilinéaire et le produit scalaire euclidien. Dans cette écriture, le carré est conventionnel car la forme quadratique admet aussi des résultats de signe négatif, et n'est bien défini que si . Cette « distance » fait de l'espace de Minkowski un espace pseudo-euclidien.
L'ensemble des transformations affines de l'espace de Minkowski qui laissent invariante la pseudo-métriqueParmi la pseudo-métrique, la forme bilinéaire et la pseudo-norme, si l'une est laissée invariante par une transformation de l'espace alors les deux autres aussi sont invariantes. forme un groupe nommé groupe de Poincaré dont les transformations de Lorentz forment un sous-groupe.
Géométrie
La géométrie dans l'espace de Minkowski présente un certain nombre de différences avec la géométrie dans un espace euclidien. Elle possède également des significations physiques précises.
Orthogonalité
Un espace de Minkowski possède une notion d'orthogonalité définie par la forme bilinéaire . Deux vecteurs sont dits orthogonaux dans l'espace de Minkowski si et seulement si La notion d'orthogonalité étant une notion générale associée à n'importe quel espace muni d'une forme quadratique (par exemple, un produit scalaire dans un espace de Hilbert), deux vecteurs peuvent être orthogonaux dans un espace de Minkowski même si leurs composantes spatiales ne forment pas une base orthogonale dans l'espace euclidien usuel.
Dans la représentation qu'est un diagramme de Minkowski, l'orthogonalité minkowskienne possède une propriété que ne possède pas l'orthogonalité euclidienne : l'angle entre un vecteur et son orthogonal varie en fonction de l'inclinaison du vecteur (en géométrie euclidienne, l'angle est fixe et égal à 90°). Quand le vecteur est de « genre lumière », ce vecteur est alors son propre orthogonal : la ligne d'univers est contenue dans le plan de simultanéité. Pour un photon, le temps ne s'écoule pas quand il progresse sur sa ligne d'univers.
Inégalité triangulaire
right|thumb|150px|Paradoxe des jumeaux dans un espace de Minkowski. Dans un plan euclidien, l'inégalité triangulaire est la relation selon laquelle, quel que soit un triangle ABC, alors les longueurs AB, BC et AC vérifient l'inégalité : , l'égalité ayant lieu quand le point B appartient au segment [AC]. Cette inégalité signifie que dans l'espace euclidien, le trajet le plus court entre deux points est la ligne droite.
Dans l'espace minkowskien, il existe un équivalent de l'inégalité triangulaire, établissant les relations entre les longueurs des côtés d'un triangle. Toutefois, celle-ci n'est cohérente que si le triangle est entièrement compris dans un cône de lumière (c'est-à-dire si le carré de leur pseudo-norme est strictement positif), et si , et sont orientés vers le futur.
Pour un triangle ABC vérifiant ces conditions, on a alors l'inégalité dans l'espace minkowskien :
.
Cette inégalité est l'inverse de celle de l'espace euclidien. Dans l'espace minkowskien, un chemin faisant un détour (dans l'espace-temps) est toujours plus « court » (en termes d'intervalle espace-temps) que la « ligne droite ». Une « ligne droite » dans l'espace minkowskien est la ligne d'univers d'une particule qui n'est soumise à aucune force, donc à vitesse constante ou stationnaire.
Cette propriété permet d'illustrer et d'expliquer le paradoxe des jumeaux en relativité restreinte. Le « jumeau » restant sur terre parcourt une « ligne droite » dans l'espace-temps AC. Le jumeau qui voyage parcourt deux segments de droites AB et BC (il fait demi-tour en B pour rejoindre son jumeau en C). Les lignes d'univers des deux jumeaux forment un triangle ABC, dont les côtés sont de genre temps (vitesse des jumeaux inférieure à celle de la lumière) et orientés vers le futur.
L'intervalle espace-temps du jumeau qui voyage est donc inférieur, selon l'inégalité triangulaire minkowskienne, à celui du jumeau stationnaire. Le temps propre du jumeau qui voyage est donc inférieur, et il est donc plus jeune au terme de son voyage que son jumeau resté sur Terre.
Géométrie hyperbolique
Faire de la physique Géométrisation de la physique relativiste
right|thumb|250px|Le cône de lumière de l'évènement e0.La flèche rose montre la dimension temporelle et les flèches grises, les dimensions spatiales. Les points géométriques représentent les événements physiques et sont repérés par quatre coordonnées (ct,x,y,z) : la coordonnée de temps et les trois coordonnées d'espace. Les repères mathématiques y représentent les référentiels galiléens, et l'obligation en mathématiques de choisir un repère, pour désigner les points par des coordonnées, correspond à celle, en physique, de choisir un référentiel pour l'observateur, y compris pour le choix de la mesure du temps.
Du point de vue du réalisme intuitif, la particularité mathématique de cet espace affine tient à sa distance entre deux points, appelée pseudo-métrique, qui a été construite par Hermann Minkowski pour être invariante par les changements de repère que sont les transformations de Lorentz. La pseudo-métrique est aussi appelée pseudo-norme quand on n'utilise que l'espace vectoriel sous-jacent à l'espace affine. Cette pseudo-métrique correspond au temps propre entre deux événements qui peuvent être causalement joints, ou correspond à la distance propre entre eux s'ils ne le peuvent pas.
La pseudo-métrique, notée , est définie par ou suivant la convention de signes ou choisieLa convention correspond au choix fait dans les textes anglo-saxons ; la convention correspond au choix fait dans les célèbres textes pédagogiques de Lev Landau, par exemple. Ce dernier choix est considéré comme « plus physique » par Roger Penrose car la métrique est positive pour les lignes d'univers de genre temps, qui sont les seules admises pour des particules massives.. Cette définition rend la pseudo-métrique identique à l'intervalle d'espace-temps qui est l'invariant relativiste par changement de référentiel galiléen.
Un événement étant donné, l'ensemble des événements physiquement joignables dans le futur et de ceux du passé à partir desquels on pouvait joindre l'événement donné, forme un cône dans l'espace de Minkowski, appelé cône de lumière, et permettant des raisonnements purement géométriques par des dessins appelés diagrammes de Minkowski.
Cet espace est pseudo-euclidien : bien que la métrique ne soit qu'une pseudo-métrique, les géodésiques y sont les droites, ce qui fait dire que cet espace est plat comme dans un espace euclidien. Les inégalités triangulaires qui y sont valables montrent qu'un segment est le chemin le plus long entre deux points, ce qui est une nette différence avec la géométrie euclidienne.