Phonon

En physique, un phonon correspond à une excitation collective dans un arrangement périodique d'atomes constituant une structure cristalline ou amorphe. La déformation est élastique. L'onde qui se propage peut être assimilée à une quasi-particule.

Ils permettent d'expliquer les propriétés physiques des solides : la capacité thermique ; la conductivité thermique ; la résistivité électrique des cristaux métallique (et donc des fils de cuivre) ; la capacité à propager le son ; la dilatation thermique.

Définition

Le concept de phonon. a été créé par Igor Tamm en . et le mot « phonon » (du grec ancien , «voix ») a été inventé par Yakov Frenkel en .. Le suffixe « -on », qui apparaît dans le nom de nombreuses entités de la physique de la matière condensée (excitons, magnons) a été calqué sur la fin du mot électron (mot inventé par George Stoney en 1891)..

Un phonon est la description quantique du mouvement vibratoire élémentaire dans lequel un réseau d'atomes ou d'ions oscille uniformément à une fréquence donnée. Il s'agit précisément du quantum d'énergie d'un mode de vibration du réseau, par analogie au photon qui est le quantum d'énergie d'une onde électromagnétique. Puisqu'il peut y avoir plusieurs phonons pour un même mode de vibration (voir section Approche quantique), le phonon n'est pas soumis au principe d'exclusion de Pauli, il est donc un boson, comme le photon. De même qu'on associe à la notion de photon aussi bien son quantum d'énergie que sa réalité physique (dualité onde-corpuscule), le phonon est souvent assimilé à son mode de propagation ou à la quasi-particule.

Dynamique du réseau cristallin

Dans un solide, il existe des forces d'interaction (essentiellement les forces covalentes ou ioniques dans notre cas) qui maintiennent chaque atome près d'une position d'équilibre. L'interaction entre chaque paire d'atomes peut être caractérisée par une fonction d'énergie potentielle qui ne dépend que de la distance entre chacun des couples de ces atomes et de leur nature. L'énergie potentielle du réseau dans son ensemble est la somme des énergies potentielles d'interaction de chaque paire :

Cette expression, caractéristique d'un problème à N corps, ne se prête pas à une résolution que ce soit en mécanique classique ou en mécanique quantique. Il est donc nécessaire de procéder à des approximations pour poursuivre l'analyse. Les trois approximations généralement employées sont : restreindre l'étude à un nombre limité d'atomes en utilisant des conditions aux limites périodiques. Cette simplification appelée hypothèse de Born-von Kármán suppose implicitement que l'on saura traiter le cas . Une conséquence peu mise en avant est le fait qu'un tel modèle est inapte à traiter les conditions au bord du solide ; restreindre la sommation aux atomes voisins (approximation des voisins les plus proches). En effet, bien que rigoureusement les forces électriques aient une portée infinie dans un solide réel, cette approximation est valide car les forces s'exerçant sur des atomes éloignés sont écrantées et donc négligeables ; considérer que le potentiel V est un potentiel harmonique, ce qui est valide lorsque les atomes restent proches de leurs positions d'équilibre. Formellement, cette hypothèse s'applique en effectuant un développement de Taylor du potentiel autour de la valeur d'équilibre et en ne gardant que les termes jusqu'à l'ordre 2. Dans certains cas cette approximation est insuffisante et l'on doit monter en ordre au prix d'une plus grande complexité du problème. L'analyse prend en compte le fait qu'il s'agit d'un réseau cristallin qui reproduit un certain nombre de cellules de base : le réseau de Bravais.

Pour un potentiel harmonique le potentiel global s'écrira en ne retenant que les interactions entre proches voisins (noté pv) :

où : est la masse réduite ; est la pulsation propre au couple (i,j) ; est la distance pour un réseau cristallin au repos.

Réseau unidimensionnel thumb|Oscillations des premiers modes normaux de vibration dans un réseau unidimensionnel. Les déplacements sont exagérés pour une bonne visualisation. On traite ci-dessous le réseau à une seule dimension qui permet de comprendre les concepts du domaine.

Approche classique On étudie donc un tel réseau, homogène (un seul type d'atome), comportant N atomes de masse m positionnés en liés entre eux par un potentiel harmonique représenté par un ressort de constante élastique C. À l'équilibre la distance entre atomes est a. Avec l'approximation de périodicité et celle de la seule influence des voisins proches, on peut écrire la dynamique du système physique par le système d'équation cinématiques suivant :

La solution étant supposée oscillatoire on utilise pour obtenir un découplage des équations du système une transformation de Fourier discrète. On définit les coordonnées normales :

où j est l'unité imaginaire.

On obtient un système d'équations découplées :

La solution de chaque équation s'écrit comme une fonction sinusoïdale d'amplitude :

Elle constitue un mode normal de nombre d'onde k et de pulsation .

La relation constitue la relation de dispersion.

Dans la limite du continu obtenue pour on obtient un champ d'oscillateurs harmonique de pulsation .

Approche quantique L'hamiltonien du système s'écrit :

où est l'opérateur position pour l'atome i ; est l'opérateur impulsion.

On définit : 2N+1 « coordonnées normales » Qk définies comme les transformées de Fourier des opérateurs position Xi ; 2N+1 « moments conjugués » Πk définis comme les transformées de Fourier des opérateurs impulsion Pi.

k est le nombre d'onde du phonon qui prend des valeurs quantifiées résultant du choix de la périodicité du système.

En inversant la transformée de Fourier pour exprimer les Q_k en fonction des X_i et les Πk en fonction des P_i, et en utilisant les relations de commutations canoniques entre les X_i et les P_i de la mécanique quantique :

En d'autres termes, les coordonnées normales Qk et leurs moments conjuguées Πk obéissent aux mêmes relations de commutation que les opérateurs position Xi et impulsion Pi. En fonction de ces grandeurs, l'hamiltonien s'écrit :

avec

Le couplage entre les variables positions a été transformé. Si les Qk et les Πk étaient hermitiens (ce qui n'est pas le cas), l'hamiltonien transformé décrirait N oscillateurs harmoniques non couplées. En fait, cet hamiltonien décrit une théorie quantique des champs de bosons découplés.

Le spectre des énergies propres de cet hamiltonien est obtenu en utilisant les opérateurs adjoints création et annihilation de quantum d'énergie ak† et ak définis comme :

Ces opérateurs adjoints vérifient :

Comme dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que les opérateurs ak† et ak correspondent respectivement à la création et l'annihilation d'une excitation d'énergie ℏωk. Cette excitation est un phononDéfinition sur le site Larousse., correspondant à l'intervalle d'énergie relative à un phonon entre deux niveaux du mode k :

On peut immédiatement en déduire deux propriétés importantes des phonons. D'abord, les phonons sont des bosons : tout mode de vibration k peut voir son nombre d'excitation augmenter par l'application répétée de l'opérateur création ak†. En second lieu, chaque phonon est un « mode collectif » correspondant au mouvement de la (quasi) totalité des atomes du réseau. Cette seconde conclusion se voit dans le fait que les opérateurs adjoints contiennent des sommations sur les positions et les impulsions de tous les atomes du réseau.

On peut voir que les excitations générées par les opérateurs adjoints sont des ondes de déplacement d'atomes du réseau en calculant la fonction de corrélation position-position. Soit un état pour lequel un seul quantum de mode k est excité, c’est-à-dire :

On peut alors montrer que pour deux atomes i et j quelconques :

ce qui décrit une onde du réseau de pulsation ωk et de nombre d'onde k.

Réseau tridimensionnel La généralisation à trois dimensions du modèle unidimensionnel précédent est aisée (mais assez lourde). Le nombre d'onde k est remplacé par un vecteur à trois dimensions, le vecteur d'onde . De plus, est maintenant associé à trois coordonnées normales. L’hamiltonien a la forme :

Le nouvel indice s = 1, 2, 3 correspond à la polarisation des phonons lorsque la maille primitive comporte un seul type d'atome. En effet, dans un modèle unidimensionnel, les atomes ne peuvent vibrer que sur une ligne, et tous les phonons correspondent à une onde longitudinale. En revanche en trois dimensions, la vibration ne se fait plus uniquement dans la direction de propagation, mais peut également lui être perpendiculaire. Elle correspond alors à une onde transverse. Cela donne naissance à des coordonnées normales supplémentaires, qui comme l'expression de l'hamiltonien l'indique, correspondent à des espèces indépendantes de phonons.

Dans le cas où une maille primitive du réseau comporte p types d'atomes, le nombre de modes accessibles par vecteur d'onde k, devient 3p (3 modes acoustiques et 3p-3 modes optiques). La somme sur s, dans l'hamiltionien se fait de 1 jusqu'à 3p.

Courbe de dispersion

Dans le cas d'un réseau monoatomique la relation de dispersion est périodique, de période . Elle est nulle en et approximativement linéaire à partir de ce point pour les faibles valeurs de k. Dans cette région les vitesses de phase et de groupe sont égales . La valeur correspond à une longueur d'onde infinie : le réseau cristallin de déplace en bloc.

Dans le cas général il existe plusieurs atomes différents dans le réseau. On peut calculer la relation de dispersion analytiquement dans les cas d'un réseau unidimensionnel alterné à deux atomes de masses et :

Il existe deux branches :

la branche inférieure, analogue à celle de la chaîne monoatomique et correspondant aux faibles fréquences, est la branche acoustique. Il s'agit d'un mouvement d'ensemble des atomes. Deux voisins vibrant quasiment en phase, des zones apparaissent où les atomes sont plus resserrés que d'autres, suivant le même mécanisme de compression et décompression qu'une onde sonore ; la branche supérieure est la branche optique ; elle correspond à des fréquences plus élevées. Deux atomes voisins de signes de charge opposés oscillent en opposition de phase. Un rayonnement infrarouge peut générer une telle vibration pour autant qu'il y ait une différence d'électronégativité des atomes de la maille élémentaire. Inversement, comme il y apparition d'un dipôle électrique oscillant dans un réseau ionique, il peut y avoir émission d'un photon.

Les deux branches sont séparées par une bande de fréquences interdites

Cette configuration est générale et permet d'établir une nomenclature des phonons suivant que ceux-ci sont acoustiques (A) ou optiques (O), polarisés longitudinalement (L) ou transversalement (T). D'où les appellations : LA, LO, TA et TO.

La présence de bandes de fréquences interdites est une caractéristique de la physique des solides.

Le phonon comme pseudo-particule

Pseudo-quantité de mouvement

Il est tentant de considérer un phonon de vecteur d'onde comme s'il possédait une quantité de mouvement , par analogie avec les photons, ou toutes les ondes correspondant à un corpuscule (dualité onde-corpuscule). Ce n'est pas tout à fait correct, car n'est pas réellement une quantité de mouvement physique. Il est nommé pseudo- quantité de mouvement ou « impulsion » de vibration. Ceci est dû au fait que n'est déterminé qu'à un multiple de vecteur constant près, le vecteur du réseau réciproque. Par exemple les coordonnées normales Q et Π sont définies de telle manière que :

Pour un réseau unidimensionnel . Un phonon de nombre d'onde k est donc équivalent à un nombre infini d'autres phonons de la même famille de nombres d'onde k ± 2π/a, k ± 4π/a, etc.