vignette|Max August Zorn en 1930 En mathématiques, le lemme de Zorn (ou théorème de Zorn, ou parfois lemme de Kuratowski-Zorn) est un théorème de la théorie des ensembles qui affirme que si un ensemble ordonné est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant, alors il possède un élément maximal. Le lemme de Zorn est équivalent à l'axiome du choix en admettant les autres axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel.
Le lemme de Zorn permet d'utiliser l'axiome du choix sans recourir à la théorie des ordinaux (ou à celle des bons ordres via le théorème de Zermelo). En effet, sous les hypothèses du lemme de Zorn, on peut obtenir un élément maximal par une définition par récurrence transfinie, la fonction itérée étant obtenue par axiome du choix. Cependant, les constructions par récurrence transfinie sont parfois plus intuitives (quoique plus longues) et plus informatives.
Le lemme de Zorn a des applications aussi bien en topologie, comme le théorème de Tychonov, qu'en analyse fonctionnelle, comme le théorème de Hahn-Banach, ou en algèbre, comme le théorème de Krull ou l'existence d'une clôture algébrique.
Il doit son nom au mathématicien Max Zorn qui, dans un article de 1935., en donnait le premier un grand nombre d'applications, en redémontrant des résultats connus d'algèbre. Cependant Kazimierz Kuratowski en avait déjà publié une version en 1922, et plusieurs mathématiciens, à commencer par Felix Hausdorff en 1907, avaient introduit des principes de maximalité proches du lemme de Zorn.
Ensemble inductif Un ensemble ordonné tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) possède un majorant est souvent appelé ensemble inductif (un ensemble inductif est donc nécessairement non vide, par existence d'un majorant de la chaîne vide). En utilisant cette terminologie, le lemme de Zorn s’énonce ainsi :
L'ensemble des parties d'un ensemble E muni de l'inclusion est un exemple d'ensemble inductif : E est un majorant de toute chaîne (pour l'inclusion) de parties de E, qui ne présente cependant pas d'intérêt pour le lemme de Zorn, puisque E est également un élément maximal.
Par contre on obtient des applications utiles en choisissant un sous-ensemble adéquat de l'ensemble des parties de E (toujours muni de l'inclusion), qui doit alors être inductif, la réunion des éléments de la chaîne pouvant fournir un candidat pour le majorant.
Prenons le cas de l'ensemble I(E,F) des graphes d'injections partielles de E dans F, où E et F sont deux ensembles quelconques : ce sont les sous-ensembles G de E × F vérifiant : Si (x,y) ∈ G et (x,y’) ∈ G, alors y = y’ Si (x,y) ∈ G et (x’,y) ∈ G, alors x = x’ . L'ensemble I(E,F) muni de l'inclusion est un ensemble inductif. En effet, toute chaîne est majorée par la réunion de ses éléments, qui est bien le graphe d'une injection partielle car deux couples de la réunion sont nécessairement dans un même élément de la chaîne (puisque celle-ci est totalement ordonnée). On déduit du lemme de Zorn l'existence d'un élément maximal, dont il n'est pas difficile de vérifier qu'il est le graphe d'une injection de E dans F, ou d'une injection de F dans E (cas non exclusifs).
On a donc montré qu'étant donné deux ensembles quelconques, il existe une injection de l'un dans l'autre ou réciproquement : c'est le théorème de comparabilité cardinaleIl ne peut se montrer sans l'axiome du choix puisqu'il lui est en fait équivalent (voir ordinal de Hartogs)..
Variantes Il existe plusieurs variantes du lemme de Zorn, les unes portent sur les conditions que doit vérifier l'ensemble ordonné pour posséder un élément maximal : on peut les voir comme des variantes sur la définition d'ensemble inductif, qui n'est d'ailleurs pas entièrement fixée dans la littérature, même si, dans ce contexteLe terme d'ensemble inductif peut être utilisé également dans des sens tout à fait différents dans d'autres contextes. celle donnée ci-dessus reste la plus courante. D'autres variantes restreignent le lemme de Zorn à un ensemble de parties d'un ensemble muni de l'inclusion, restrictions qui s'avèrent en fait facilement équivalentes à l'énoncé initialCes variantes sont étudiées extensivement, avec quelques indications historiques quant à leur apparition, dans .. Variations sur la définition d'ensemble inductif En un sens précisé ci-dessous, un ensemble partiellement ordonné est dit inductif si toute partie « au moins totalement ordonnée » admet un « majorant ou mieux ». Les candidats usuels pour préciser « au moins totalement ordonnée » sont : 1) totalement ordonnée 2) bien ordonné tandis que ceux pour « majorant ou mieux » sont : 3) majorant 4) borne supérieure d'où quatre définitions voisines mais distinctes, la moins restrictive correspondant à (2,3) et la plus restrictive à (1,4). Comme l'acception la plus courante correspond au cas du couple (1,3), c'est la définition choisie dans la suite :
Un ensemble inductif est un ensemble partiellement ordonné où toute chaîne (partie totalement ordonnée) admet un majorant.
Pour beaucoup d'applications du lemme de Zorn la définition (1,4), qui est la plus restrictive, s'utilise naturellement, même si elle donne un énoncé en apparence plus faible. C'est le cas par exemple de l'application à la comparabilité cardinale du paragraphe précédent : la réunion des éléments de la chaîne n'est pas seulement un majorant mais une borne supérieure. La notion peut aussi être utile dans d'autres contextesOù la terminologie peut être différente, voir l'article ordre partiel complet.. Un ensemble tel que toute chaîne admet une borne supérieure (choix (1,4)), est d'ailleurs parfois appelé également ensemble inductifPar exemple , ou ., mais aussi ensemble strictement inductif.. Un ensemble strictement inductif possède nécessairement un plus petit élément, la borne supérieure de la chaîne vide. Une variante est de supposer que l'ensemble est non vide mais que seules les chaînes non vides ont une borne supérieure, c'est-à-dire de ne pas supposer de plus petit élément (qui n'est pas utile pour le lemme)Par exemple utilise pour un ensemble tel que toute chaîne non vide possède une borne supérieure..
C'est bien sûr la définition la moins restrictive qui donne le meilleur énoncé du lemme de Zorn. Même si l'énoncé habituel correspond au choix du couple (1,3) dans la définition d'ensemble inductif, le couple (2,3) donne un énoncé (apparemment) plus fort, parfois bien utile.
Principes de maximalité pour l'inclusion Le lemme de Zorn peut se particulariser pour la relation d'inclusion sur un ensemble d'ensembles. Un candidat naturel pour le majorant d'une chaîne pour l'inclusion est la réunion des éléments de cette chaîne ; il s'agit alors forcément de la borne supérieure de la chaîne. On obtient ainsi comme conséquence du lemme de Zorn l'énoncé suivant, qui lui est en fait équivalentÉquivalence simple à démontrer, voir la suite ; c'est cependant bien l'énoncé « plus général » de l'article que l'on a appelé très tôt lemme ou théorème de Zorn, voir . :
Pour l'application à la comparabilité cardinale (voir ci-dessus), on était déjà dans ce cas particulier ( est l'ensemble des graphes d'injections partielles de E dans F). C'est en fait un cas particulier de la version (1,4) du lemme de Zorn. On a un énoncé analogue en termes de chaînes bien ordonnées par l'inclusion (cas particulier de la version (2,4)).
Si (E, ≤) est un ensemble ordonné, l'ensemble des chaînes de E (pour l'ordre de E) est lui-même un ensemble ordonné par inclusion. Si est une chaîne de pour l'inclusion, alors il est simple de montrer que la réunion des éléments de , qui sont des chaînes de (E, ≤), est encore une chaîne de (E, ≤). On obtient ainsi une version du principe de maximalité de Hausdorff (ou théorème de maximalité de Hausdorff).
Si de plus l'ensemble ordonné est inductif (au sens initial (1,3)), la chaîne maximale en question possède un majorant (en fait : un plus grand élément) qui, par maximalité de la chaîne, est un élément maximal de l'ensemble lui-même. On déduit donc le lemme de Zorn (version (1,3) initiale) du principe de Hausdorff.. On a donc démontré l'équivalence des énoncés du lemme de Zorn versions (1,3) et (1,4), du lemme de Zorn pour l'inclusion et du principe de Hausdorff.
Chaînes bien ordonnées On peut également déduire les versions du lemme de Zorn pour les chaînes bien ordonnées (versions (2,3) et (2,4)) du principe de maximalité de Hausdorff. Cependant, pour l'ordre de l'inclusion, une chaîne de chaînes bien ordonnées n'a pas nécessairement de borne supérieure. On les compare par segment initial : Étant donné un ensemble ordonné (E, ≤), on dit, pour deux chaînes bien ordonnées de (E, ≤) C1 et C2, que C1 est un segment initial de C2 quand : C ⊂ C et ∀ x ∈ C1 ∀ y ∈ C2 (y ≤ x ⇒ y ∈ C1). On vérifie facilement que la relation « être un segment initial » est une relation d'ordre sur l'ensemble des chaînes bien ordonnées de E et que, pour cet ordre, toute chaîne a un majorant et même une borne supérieure : sa réunion. L'ensemble , muni de l'ordre par segment initial, est donc un ensemble inductif au sens habituel (et même au sens (1,4)).
On peut donc déduire du lemme de Zorn habituel (ou même de sa version (1,4)) que possède un élément maximal C. Si l'on suppose maintenant que (E, ≤) est un ensemble inductif au sens (2,3) (le plus restreint), c'est-à-dire que tout chaîne bien ordonnée de (E, ≤) possède un majorant, on a alors un majorant m pour C. Ce majorant m est nécessairement un élément maximal de E, car, si ce n'était pas le cas, un élément strictement supérieur à m permettrait de prolonger C en une chaîne bien ordonnée, dont C serait alors un segment initial, ce qui contredirait sa maximalité.
On a donc démontré (indépendamment des résultats du paragraphe précédent) que le lemme de Zorn pour la définition d'ensemble inductif (1,4), le plus faible en apparence, a pour conséquence le lemme de Zorn pour la définition d'ensemble inductif (2,3), le plus fort en apparence. Les quatre énoncés sont donc bien équivalents.
Équivalence avec l'axiome du choix et le théorème de Zermelo Les divers énoncés obtenus ci-dessus, équivalents entre eux, sont également équivalents à l'axiome du choix, en admettant un certain nombre d’axiomes de la théorie des ensembles, ceux de Zermelo par exemple. Il serait donc possible de considérer le lemme de Zorn comme un axiomeEt c'était d'ailleurs l'intention de Zorn, selon ., et l'« axiome du choix » comme un théorème qui serait sa conséquence. Le théorème de Zermelo ou principe du bon ordre, est également un équivalent de l'axiome du choix, qui a été utilisé pour démontrer les premières versions du lemme de Zorn (avant Zorn), et dont les démonstrations directes sont proches de celles de ce dernier.
Cependant, selon une boutade célèbre du mathématicien , « L'axiome du choix est évidemment vrai, le principe du bon ordre est évidemment faux, et le lemme de Zorn personne n'en sait rien »The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering Principle is obviously false; and who can tell about Zorn's Lemma?, relatée par Eric Schechter, Handbook of Analysis and its Foundations, et sur cette page. Serge Lang ne trouve pas « psychologiquement très satisfaisant » de prendre pour axiome un énoncé tel que le lemme de ZornZorn's lemma could be just taken as an axiom of set theory. However, it is not psychologically completely satisfactory as an axiom, because its statement is too involved, ..., .. Il s'avère que l'axiome du choix et le théorème de Zermelo sont des conséquences directes du lemme de Zorn, alors que la démonstration du lemme de Zorn ou du théorème de Zermelo par l'axiome du choix demande une construction un peu plus délicate. On peut énoncer d'ailleurs un théorème de point fixe qui ne dépend pas de l'axiome du choix, et qui, avec ce dernier, donne directement le lemme de Zorn.
Le lemme de Zorn a pour conséquence l'axiome du choix et le théorème de Zermelo