vignette|redresse|Courbe de la chaînette pour a = 2, .
En mathématiques, la chaînette est une courbe plane transcendante, qui correspond à la forme que prend un câble (ou une chaîne) lorsqu'il est suspendu par ses extrémités et soumis à une force gravitationnelle uniforme (son propre poids). On lui donne parfois le nom de vélaire ou encore de caténaire.
Étymologie et histoire vignette|Caténaire, formée d'un câble porteur et d'un câble linéaire inférieur, reliés par des pendules : la chaînette virtuelle se situe entre les deux câbles. Le problème de la forme prise par un fil pesant flexible a intéressé de nombreux mathématiciens.
En 1638 Galilée écrit :
La preuve du fait que la chaînette ne prend pas une forme de parabole fut apportée en 1627 par Joachim Jung dans sa Geometrica EmpiricaMarc Parmentier, Leibniz, naissance du calcul différentiel, Vrin (1989), p.192 et en 1646 par HuygensHuygens, Correspondance n°21, lettre à Mersenne, prop.8, (1646), Œuvres complètes de Christiaan Huygens, Société hollandaise des sciences, t. I, p. 36..
En 1691, LeibnizLeibniz, De linea in quam flexile se pondere proprio curvat, ejusque usu insigni ad inveniendas quotcunque medias proportionales et logarithmos, Acta eruditorum, Juin 1691. Leibnizens matematische Schriften, tome V, p. 243-247., Jean Bernoulli et Huygens, sous l’impulsion d’un défi lancé par Jacques BernoulliActa eruditorum, mai 1690, démontrent quasi simultanément que la forme exacte est une courbe transcendante dont ils déterminent les équations.
Délaissant le vocable latin du problema funicularium (problème relatif à la corde), utilisé par les Bernoulli, Huygens utilise dans une lettreHuygens, Correspondance n°2693, lettre à Leibniz, (1691), Œuvres complètes de Christiaan Huygens, Société hollandaise des sciences, t. X, p.133 adressée à Leibniz le mot catenaria, la courbe relative à la chaîne (catena), puis passe au français chaînette, renouant ainsi avec le terme catenella utilisé par Galilée (alors que les mathématiciens anglophones conserveront la désignation de Huygens pour la nommer catenary, le même mot anglais étant traduit en français par caténaire avec la même origine latine, mot utilisé aussi en français pour certaines constructions autoportées en forme de chaînette).
Certains auteurs francophones lui donnent donc aussi le nom de caténaire, bien que la caténaire désigne plus usuellement en français l’association d’un câble autoporté associé dans le même plan vertical, dans la partie inférieure, à un second câble ayant vocation à être, dans le mesure du possible, quasiment linéaire, les deux câbles étant en général soumis à une force de traction longitudinale, et reliés verticalement entre eux par une série de raccordements pendulaires. Ce système de portage déforme le câble supérieur porteur, et lui donne en fait une forme plus proche d'une parabole, la chaînette n'étant plus présente que virtuellement, passant entre les deux câbles sur lesquels sont articulés les pendules de longueur variable.
L'intérêt du montage porteur en caténaire est de permettre de donner une forme quasi rectiligne au câble inférieur. Cela permet par exemple d'améliorer le contact et d'équilibrer (et même réduire) globalement les forces de frottement dans les systèmes d'alimentation électrique ferroviaire (en évitant autant que possible les ruptures causées par des chocs répétés et des étincelles contre le câble d'alimentation), et permet aussi de limiter la longueur totale du câble inférieur, ce qui réduit sa résistance électrique totale (donc les pertes d'énergie en ligne au sein de ce câble) pour les caténaires de transport d'énergie à longue distance, sans avoir à augmenter de façon très importante la tension des câbles (ce qui les fragilise progressivement au cours du temps, par l'effet des élongations inélastiques imposées).
En effet, et c'est là une propriété remarquable, la forme de chaînette est celle qui permet de minimiser sa tension longitudinale : en augmentant la flèche de courbure (l’écartement maximum du câble par rapport à la ligne droite joignant les points d'attachement), donc aussi la longueur totale du câble entre les deux points fixes d’attachement, on réduit sensiblement cette tension longitudinale, et donc aussi les élongations inélastiques et les risques d'une rupture précoce du câble.
Cette propriété de la chaînette est utilisée dans les câbles porteurs d'un téléphérique (ou d'autres systèmes de portage similaires comme le télésiège) qui adoptent la forme d'une chaînette entre les points d'attachement aux pylônes fixes, ou entre le point de charge d’une nacelle et chacun des points d'attachement aux pylônes précédent et suivant ; la seule contrainte supplémentaire exercée sur le câble est alors la flexion exercée aux points d’intersection des arcs de chaînettes successifs (aux pylônes ou au-dessus d’une nacelle), une flexion dont on peut réduire l'effet inélastique indésirable en remplaçant ce point par un arc solide de soutien (par exemple le réa circulaire d’une poulie), d'une longueur suffisante pour distribuer et limiter la courbure de flexion exercée localement sur le câble. Ainsi il suffit d’un nombre très réduit de pylônes fixes pour porter le câble et franchir des distances très importantes entre deux pylônes, avec une seule chaînette entre eux, tout en conservant une tension de câble réduite qui en augmente la résistance et la charge utile de transport.
La chaînette des lignes à haute tension varie en fonction de la quantité d'énergie transportée et des conditions météorologiques. Le courant permanent admissible désigne le courant maximum pouvant être transporté à un moment donné sans que le câble ne se rapproche trop du sol (en raison de la dilatation thermique due à l'effet Joule).
Définition mathématique vignette|300px|upright|Chaînettes avec différentes valeurs de a. L’équation cartésienne de la forme de la chaînette est : , dans laquelle désigne le cosinus hyperbolique.
Le paramètre est le rapport de la composante horizontale de la tension au poids linéique , poids par unité de longueur.
Cette équation dépend d’un seul paramètre (une constante, qui a la dimension d’une longueur dans son interprétation physique). Une courbe d’équation avec un paramètre b différent de a :
n’est généralement pas une chaînette au sens strict. Cependant, la forme de la courbe ne varie pas à une constante additive près (déterminant sa hauteur de portée), et la courbe suivante sera considérée aussi comme une chaînette généralisée :
On peut également la voir sous la forme d’une équation paramétrique :
Il peut être commode de prendre pour paramètre la tension qui croît avec l'altitude du point. Dans ces conditions, par rapport à des axes quelconques :
Aspects mécaniques Hypothèses La définition de la courbe comme celle d'un objet suppose que le câble, la corde ou la chaîne n'exerce aucune force élastique de flexion (ni de friction aux surfaces transversales de contacts des mailles de la chaînette) et donc que la seule force en jeu est la force de gravitation exercée de façon uniforme sur toute la longueur. Cette définition suppose aussi que la longueur totale du câble, ou de n'importe quelle section de celui-ci, reste invariante lorsque s'exercent des forces de traction longitudinales (donc que le câble ne subit aucune élongation élastique à cause de cette traction, le cas idéal n'étant alors pas celui de la cordelette, mais celui d'une très fine chaînette à maillons indéformables, chacun d'eux étant très court en comparaison de la longueur totale de la chaînette).Si l'allongement de la ligne ne peut être négligé, la longueur au repos d'un petit élément devient sous tension, conformément à la loi de Hooke :
avec le module de Young et la section de la ligne.
Les projections horizontale et verticale du petit élément étant modifiées dans les mêmes proportions, pour obtenir les équations paramétriques correspondantes, il faut différentier les deux équations précédentes, multiplier les résultats par le facteur d'accroissement et intégrer de nouveau. Chacune des deux équations contient alors un second membre corrigé par un terme inversement proportionnel à la rigidité et la courbe résultante n'est plus une chaînette.Pour que la force de gravitation soit uniforme, on admet que toutes les sections de même longueur du câble ou de la corde sont de même poids, quelle que soit cette longueur de section (rapporté au cas de la chaînette idéale, les maillons élémentaires sont tous de forme et de taille identiques, mais aussi de masses identiques donc faits d’un matériau solide dont la masse volumique est homogène). D'autre part on doit aussi admettre que les forces de gravitation exercées sur chacune de ces sections sont égales (et ne dépendent donc pas de la position des sections, ce qui n’est possible que si la distance entre leur centre de gravité et le centre de gravité de la Terre est pratiquement identique entre deux sections quelconques, et donc que la longueur totale du câble est négligeable par rapport à la distance entre le milieu du câble et le centre de la Terre, de sorte que le module et la direction du champ de gravité terrestre sont alors pratiquement constants sur toute la longueur du câble ou de la chaînette idéale).
Enfin, on suppose que quelle que soit la forme de la chaînette, celle-ci reste confinée sur toute sa longueur dans le plan formé par la position de ses extrémités et la direction constante du champ gravitationnel : toutes les forces d'action ou de réaction s'exercent alors dans ce plan sans qu'intervienne aucune force de torsion supplémentaire (ou que les forces d’action exercées hors de ce plan sur toute section de la chaînette sont partout et constamment équilibrées par la réaction des forces de torsion égales en module et opposées en direction aux forces d’action, de sorte que les éventuelles forces de torsion, élastiques ou non, n'entrent pas en jeu dans la forme obtenue de la chaînette dans ce plan : ce cas s'applique aux fils, cordes et câbles, formés de torons soumis en interne à de telles forces de torsion maintenues en équilibre par des contre-torsions).
Calcul mécanique La théorie de la chaînette décrit la courbe d'équilibre d'une ligne (chaîne ou câble) suspendue entre deux points, homogène, inextensible, sans rigidité en flexion, soumise à son seul poids. Cette dernière condition assure que toute la courbe est située dans un plan vertical, le système de coordonnées étant naturellement horizontal, vertical. thumb|400x400px|Élément de chaînette. Pour établir les conditions d'équilibre on raisonne comme en résistance des matériaux en coupant par la pensée la ligne en un point arbitraire et en faisant apparaître les forces de liaison. En l'absence de rigidité en flexion il n'y a ni effort tranchant ni moment fléchissant mais un seul effort axial nommé tension, étant l'angle de celle-ci avec l'horizontale. Ainsi la composante horizontale s'écrit et la composante verticale .
L'absence de rigidité en flexion crée par contre des grandes déformations qui conduisent à étudier l'équilibre d'un petit élément de longueur . L'équation du bilan des forces donne suivant l'axe horizontal .
Il subit donc une force horizontale constante puisque le rapport
n'est autre que la dérivée de la composante horizontale, et une force verticale égale à son poids (où est le poids par unité de longueur), ce qui conduit aux équations différentielles
L'intégration de la première équation donne , la constante d'intégration étant la composante horizontale de la force : la composante horizontale de la force est une constante en tout point de la courbe. La seconde donne .
Ici, la constante d'intégration, dont la valeur dépend de l'origine des abscisses curvilignes, correspond au point le plus bas de la courbe où l'abscisse curviligne et l'angle changent tous deux de signe.
En élevant au carré et en sommant on obtient la loi de variation de la tension en fonction de l'abscisse curviligne :