La formule d'inversion de Möbius classique a été introduite dans la théorie des nombres au cours du par August Ferdinand Möbius. Elle a été généralisée plus tard à d'autres « formules d'inversion de Möbius ».
Énoncé La version classique., th. 266 et 267. déclare que pour toutes fonctions arithmétiques et , on a si et seulement si est la transformée de Möbius de ,
où est la fonction de Möbius et les sommes portent sur tous les diviseurs strictement positifs de .
L'équivalence reste vraie si les fonctions et (définies sur l'ensemble ℕ* des entiers strictement positifs) sont à valeurs dans un groupe abélien (vu comme ℤ-module).
Preuve par convolution Convolution de Dirichlet On se place dans l'anneau commutatif F des fonctions arithmétiques, défini comme suit. L'ensemble F des fonctions arithmétiques est naturellement muni d'une addition qui en fait un groupe abélien. On le munit d'une deuxième loi interne, la convolution de Dirichlet, en associant à deux éléments f et g de F la fonction f ✻ g définie par :
Cette loi sur F est associative, commutative et distributive par rapport à l'addition, et il existe un élément neutre : la fonction notée ici δ et définie par δ(1) = 1 et pour tout entier n > 1, δ(n) = 0.
Le groupe des inversibles (F, ✻) de cet anneau est le groupe abélien constitué des fonctions f telles que f(1) ≠ 0 (les fonctions multiplicatives en forment un sous-groupe).
Démonstration En notant 1 la fonction constante 1(n) = 1, la formule d'inversion se réécrit : . Cette équivalence résulte de la définition de μ comme l'inverse de 1 pour la convolution ✻ : , qui donne bien :
et . Ces calculs restent valables pour f et g à valeurs dans un groupe abélien. (G, +) car le sous-anneau de F constitué des applications à valeurs entières contient μ et 1, et les applications de ℕ* dans G forment un module à droite sur cet anneau, la loi externe étant la convolution définie par les mêmes formules.
Généralisation et preuve combinatoire Contexte Une approche combinatoire permet de généraliser l'étude ci-dessus G.-C. Rota, « On the foundations of combinatorial theory, I: Theory of Möbius functions », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie u. verw. Gebiete, vol. 2, 1963, p. 340-368.. Soit A un ensemble partiellement ordonné dont la relation d'ordre est notée ≤. On définit les chaînes par. :
En supposant que l'ordre sur A est , c'est-à-dire qu'il n'existe qu'un nombre fini d'éléments situés entre a et b, Gian-Carlo Rota construit alors une nouvelle fonction de Möbius, qu'il note μ, caractérisée par. :
Elle généralise la fonction de Möbius classique μ. :
Formule d'inversion de Rota La fonction μ vérifie la formule d'inversion suivante., qui généralise celle pour μ :
En effet, le produit de convolution de Dirichlet se généralise, permettant d'associer à tout ordre localement fini A son , et μ s'interprète alors comme un inverse dans cet anneau unitaire. Ceci fournit in fine une preuve très courte — analogue à celle donnée plus haut pour μ — de la formule d'inversion ci-dessus, mais nécessite de développer au préalable cette théorie, alors qu'un calcul direct est possible :
En appliquant cette formule à d'autres ensembles partiellement ordonnés localement finis que celui des entiers strictement positifs ordonné par divisibilité, on obtient d'autres formules d'inversion de Möbius, comprenant entre autres le principe d'inclusion-exclusion de Moivre.
Lorsque l'ordre utilisé est l'ordre usuel sur les entiers naturels non nuls, on obtient la formule suivante, utile en combinatoire :
si et sont deux fonctions définies sur l'intervalle de ℝ à valeurs complexes et si et sont deux fonctions arithmétiques inverses l'une de l'autre pour la convolution de Dirichlet (en particulier si et ), alors, . .
Applications
Des exemples sont donnés dans l'article Fonction multiplicative. Arithmétique modulaire
L'indicatrice d'Euler φ vérifie : . La formule d'inversion donne alors : .
Polynôme cyclotomique
La formule d'inversion de Möbius est valable pour toute fonction f de N* dans un groupe abélien. Si ce groupe est noté multiplicativement, la formule devient :
En prenant, comme groupe multiplicatif, celui des fractions rationnelles non nulles à coefficients rationnels et, comme fonction f, celle qui associe à tout entier n > 0 le n-ième polynôme cyclotomique Φ, on obtient, en vertu de l'égalité
un moyen de calculer le n polynôme cyclotomique :
Ces deux équations précisent celles du paragraphe précédent, qui correspondent au degré des polynômes en jeu.
Polynôme irréductible et corps fini
Certains codes correcteurs, comme les codes cycliques sont construits à l'aide de l'anneau des polynômes à coefficients dans le corps fini Fq à q éléments et d'un polynôme irréductible et unitaire de degré n. C'est l'une des raisons pour lesquelles on s'intéresse au nombre m(q) de polynômes irréductibles unitaires de degré n à coefficients dans Fq. Cette question est un exemple de problème de dénombrement faisant intervenir la fonction de Möbius.
On démontre algébriquement que
Par inversion de Möbius, on en déduitR. Rolland, Fonction de Möbius - Formule de Rota, CNRS, Institut de mathématiques de Luminy. :
Notes et références
Articles connexes Transformée de Möbius Série de Lambert Série de Dirichlet
Catégorie:Arithmétique
ru:Функция Мёбиуса#Обращение Мёбиуса