Transformation de Möbius

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de noté , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.

En particulier, si on identifie à la sphère de Riemann , alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme :

avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad – bc ≠ 0, la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si ou si = 0 :

Définition générale Soit n un entier naturel, on munit ℝ de sa structure euclidienne canonique et on définit alors les inversions de par rapport à un hyperplan ou à une hypersphère (qu'on appellera parfois plan et sphère par abus de langage) : pour un hyperplan , l'inversion par rapport à , notée , est la réflexion par rapport à l'hyperplan et a donc pour expression : pour une sphère , l'inversion par rapport à , notée , s'exprime par :

On remarque que les inversions sont involutives : si σ est une inversion, σ = Id.

De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.

Exemples Les principaux exemples de transformations de Möbius sont : les isométries de ℝ (par composition de n réflexions au plus), parmi lesquelles les translations (par composition de deux réflexions) ; les homothéties de rapport positif (par composition de deux inversions par rapport à des sphères de même centre).

Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique : l'inversion dans ℝ par rapport à la sphère S(e, ) qui, restreinte à ℝ, correspond à la projection stéréographique de ℝ sur S = S(0, 1) dans ℝ. C'est en fait le difféomorphisme naturel entre le demi-espace ℋ = et la boule B = il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

La transformation bilinéaire, qui associe la droite imaginaire à la sphère unité et qui est utilisée en traitement du signal pour faire le lien entre transformée en Z et transformée de Laplace, est un autre cas particulier de transformation de Möbius.

Propriétés générales Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan . En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient :

ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important :

Il permet notamment de montrer l'unicité de l'extension de Poincaré d'une transformation : c'est l'unique élément qui conserve ℋ et dont la restriction à ℝ est , en considérant ℝ comme l'hyperplan de ℝ constitué des points dont la (n + 1)-ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si , on note l'élément de ℝ dont les n premières coordonnées sont celles de a, la (n + 1)-ième étant nulle. L'inversion par rapport à sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à , et de même . On a la propriété remarquable suivante :

Transformations de Möbius du plan complexe Forme générale Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme

Réciproquement, une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes () : (translation) ; (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle) ; (similitude directe).

Cas particuliers Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme avec a, b, c, d réels et ad - bc > 0 sont celles qui laissent le demi-plan de Poincaré globalement invariant. Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme avec sont celles qui laissent le cercle unité globalement invariant T. Needham, Visual complex analysis, Oxford University Press, (1997), 176-178 (y compris celles avec a infini pour prendre en compte les transformations du type ).

Détermination d'une transformation de Möbius du plan Si , et sont trois points distincts ainsi que , et , alors il existe une unique transformation de Möbius

Autrement dit :

En effet, en résolvant

on trouve comme unique solution :

et de même on peut construire B telle que

Alors, g répond à la question si et seulement si Bg coïncide avec A en , et donc si et seulement si g = BA.

Représentation par des matrices En associant à toute matrice telle que la transformation de Möbius définie par , on obtient un morphisme de groupes de GL(ℂ) dans . En effet, un calcul algébrique trivial montre que .

De plus, ce morphisme est surjectif et son noyau est réduit aux homothéties. On a ainsi :

Extension de Poincaré Par les propriétés générales, on peut en déduire que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. On peut l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant ℝ comme le ℝ-sous-espace vectoriel de base du corps des quaternions. Si on a alors son extension de Poincaré a pour expression :

Classification Par stricte 3-transitivité de l'action, une transformation de Möbius du plan différente de l'identité ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de son extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité) : si on définit les transformations normales , par

on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est conjuguée à une unique transformation normale , avec si possède un point fixe, si a deux points fixes et si a une infinité de points fixes. Enfin, la trace au carré d'un représentant de (qui est invariante par conjugaison et caractérise modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de . On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant :

Transformation Points fixes de Trace au carré Forme normale ReprésentantParabolique Loxodromique Elliptique

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique : g sera hyperbolique si sa trace au carré est réelle, strictement loxodromique dans le cas contraire.

Projection stéréographique La projection stéréographique envoie le plan complexe sur la sphère de Riemann, sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.

Elliptique Hyperbolique Loxodromique Un point fixe à l'infini Points fixes diamétralement opposés Points fixes arbitraires

Exemples L'ensemble des cercles généralisés dans le plan complexe étendu forme une classe de congruence simple pour toute transformation de Möbius.

Notes et références

Voir aussi Bibliographie

Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie

Transformation de Möbius

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