En matemáticas, a serie harmónica é a serie infinita formada pola suma de todas as fraccións unitarias positivas:
Os primeiros termos da serie suman aproximadamente , onde é o logaritmo natural e é a constante de Euler-Mascheroni. Como o logaritmo ten valores arbitrariamente grandes, a serie harmónica non ten un límite finito: é unha serie diverxente. A súa diverxencia foi probada no século XIV por Nicole Oresme utilizando un precursor da proba de condensación de Cauchy para a converxencia de series infinitas. Tamén se pode demostrar que diverxe comparando a suma cunha integral, segundo a proba de converxencia da integral.
Definición e diverxencia A serie harmónica é a serie infinita na que os termos son todas as fraccións unitarias positivas. É unha serie diverxente: a medida que se inclúen máis termos da serie nas sumas parciais da serie, os valores destas sumas parciais medran arbitrariamente, máis aló de calquera límite finito. Debido a que é unha serie diverxente, debería interpretarse como unha suma formal, unha expresión matemática abstracta que combina as fraccións unitarias, máis que como algo que se pode avaliar a un valor numérico. Hai moitas probas diferentes da diverxencia da serie harmónica, analizadas nun artigo de 2006 por SJ Kifowit e TA Stamps. Dúas das máis coñecidas están listadas a continuación.
Proba por comparación Unha forma de probar a diverxencia é comparar a serie harmónica con outra serie diverxente, onde cada denominador é substituído pola seguinte potencia de dous: A agrupación de termos iguais mostra que a segunda serie diverxe (porque é unha suma infinita de cantidades 1/2): Debido a que cada termo da serie harmónica é maior ou igual ao termo correspondente da segunda serie (e os termos son todos positivos), e dado que a segunda serie diverxe, dedúcese (polo test de comparación) que a serie harmónica tamén diverxe. O mesmo argumento demostra con máis forza que, para todo enteiro positivo ,
Esta é a proba orixinal dada por Nicole Oresme en torno a 1350. A proba de condensación de Cauchy é unha xeneralización deste argumento.
Proba por comparación cunha integral miniatura| Os rectángulos, con área dada pola serie harmónica, e a hipérbola polas esquinas superiores esquerdas destes rectángulos É posíbel demostrar que a serie harmónica diverxe comparando a súa suma cunha integral impropia. Concretamente, considere a disposición dos rectángulos que se mostra na figura da dereita. Cada rectángulo ten 1 unidade de ancho e unidades altas, polo que se a serie harmónica converxe, a área total dos rectángulos sería a suma das series harmónicas. A curva permanece totalmente por debaixo do límite superior dos rectángulos, polo que a área baixo a curva (no rango de do un ao infinito que está cuberto por rectángulos) sería menor que a área de unión dos rectángulos. No entanto, a área baixo a curva vén dada por unha integral impropia diverxente, Como esta integral non converxe, a suma tampouco non pode converxer.
Sumas parciais
Sumando os primeiros termos da serie harmónica temos unha suma parcial chamada número harmónico e denotado como :
Valor de n1234567891011121314151617181920Valor aprox. de 11,51,82,12,32,52,62,72,82,93,03,13,23,253,323,383,443,493,553,60
De feito, a serie harmónica diverxe, as súas sumas parciais tenden cara a .
Valor de n10Valor aprox. de 2,95,27,59,812,114,416,719,021,3
Taxa de crecemento Estes números medran moi lentamente, cun crecemento logarítmico, como se pode ver na proba da integral. Máis precisamente, pola fórmula de Euler-Maclaurin, onde é a constante de Euler-Mascheroni e que se achega a 0 cando vai ao infinito.
Interpolación miniatura| A función digamma sobre os números complexos A función digamma defínese como a derivada logarítmica da función gamma Así como a función gamma proporciona unha interpolación continua dos factoriais, a función digamma proporciona unha interpolación continua dos números harmónicos, no sentido de que . Esta ecuación pódese usar para estender a definición a números harmónicos con índices racionais.
Series relacionadas
Serie harmónica alternada dereita|miniatura|240x240px| As primeiras catorce sumas parciais da serie harmónica alterna (segmentos de liña negra) mostradas converxen ao logaritmo natural de 2 (liña vermella). A serie coñécese como serie harmónica alternada. É condicionalmente converxente polo test de serie alternada, pero non é absolutamente converxente. A súa suma é o logaritmo neperiano de 2.
A expansión asintótica da serie comeza como Isto resulta da igualdade e a fórmula de Euler-Maclaurin.
Función zeta de Riemann A función zeta de Riemann defínese para real pola serie converxente que para sería a serie harmónica. Pódese estender mediante o prolongamento analítico a unha función holomorfa en todos os números complexos agás onde a función estendida ten un polo simple. Outros valores importantes da función zeta inclúen que é a solución ao problema de Basilea, a constante de Apéry que Roger Apéry demostrou que é un número irracional, e a "liña crítica" dos números complexos con parte real conxecturado pola hipótese de Riemann como os únicos valores distintos dos enteiros negativos onde a función pode ser cero.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
ver problema 52: De homine patrefamilias – A lord of the manor, pp. 124–125.
From p. 250, prop. 16: "''XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium, proba de Johann Bernoulli tamén por contradición. See also unpublished addendum, "More proofs of divergence of the harmonic series" por Kifowit.
</ref>
A proba de Mengoli é por contradición
ver en particular Teorema 1, p. 516.
Outros artigos Serie diverxente. Función zeta de Riemann. 1 %2B 2 %2B 3 %2B 4 %2B ⋯. Ligazóns externas
Categoría:Wikipedia:Páxinas que usan barra lateral co parámetro child Categoría:Teoría de números Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas Categoría:Serie matemática